8. WYMIANA CIEPŁA

8.1. Rodzaje wymiany ciepła

Wymiana ciepła jest zjawiskiem przepływu energii pod postacią ciepła z układu o temperaturze wyższej do układu o temperaturze niższej. Rozróżnia się trzy sposoby przenoszenia energii cieplnej:

• przewodzenie,

• konwekcję,

• promieniowanie.

Przewodzenie ciepła ma miejsce wtedy, gdy przepływ energii odbywa się jedynie wskutek ruchów cząsteczek w nieruchomym, jako całość, środowisku. W ciałach stałych przewodzenie ciepła polega przede wszystkim na przenoszeniu energii przez swobodne elektrony oraz drgania atomów w siatce krystalicznej. W gazach oraz cieczach przeno­szenie energii polega głównie na bezładnych zderzeniach cząsteczek.

Konwekcja albo unoszenie ciepła zachodzi wtedy, gdy cząsteczki substancji, w której przenosi się ciepło, zmieniają swe położenie. Zjawisko to występuje w cieczach i gazach, a przenoszenie energii cieplnej następuje w wyniku mieszania poruszającego się płynu. Gdy ruch płynu jest wywołany sztucznie, mamy do czynienia z konwekcją wymuszoną. Jeśli zaś przyczyną ruchu jest różnica gęstości płynu wywołana różnicą temperatury, to występuje konwekcja swobodna.

Promieniowanie ciepła polega na przenoszeniu energii przez fale elektromagnetyczne o określonej długości fali. Energia promieniowania przenosi się z prędkością równą prędkości światła.

W praktyce często spotyka się przykłady wymiany ciepła, będące pewnymi kombinacjami powyższych przypadków. Najważniejsze z nich to przejmowanie (patrz p. 8.4) oraz przenikanie ciepła (p. 8.5).

Wymiana ciepła jest ustalona, gdy temperatura układów wymienia­jących ciepło nie ulega zmianie w czasie oraz gdy stała jest ilość przenoszonego ciepła. Gdy wielkości te zmieniają się w czasie, mamy do czynienia z procesem nieustalonej wymiany ciepła.

W dalszym ciągu będą rozważane wyłącznie zagadnienia dotyczące ustalonej wymiany ciepła.

Ilość wymienionego ciepła określa się zwykle za pomocą tzw. natężenia strumienia cieplnego, czyli ilość ciepła przepływającego przez jednostkę powierzchni, w jednostce czasu. Wielkość tę, oznaczaną symbolem q, zgodnie z definicją określa wzór

(8.1)

gdzie:
- strumień ciepła (ilość ciepła w jednostce czasu - moc cieplna),

A - pole powierzchni wymiany ciepła.

8.2. Przewodzenie ciepła

Podczas przewodzenia ciepła natężenie strumienia cieplnego jest proporcjonalne do spadku temperatury, mierzonego w kierunku prze­pływu ciepła. Sformułowanie to stanowi prawo Fouriera, którego matematyczny zapis ma postać

(8.2)

gdzie: wielkość dT/dx, zwana gradientem temperatury, jest miarą spadku temperatury w kierunku przepływu ciepła,

- współczynnik proporcjonalności, zwany współczynnikiem przewodzenia ciepła albo krótko przewodnością cieplną.

Przewodność cieplna
charakteryzuje zdolność ciała do przewodze­nia ciepła. Im większa jest jej wartość, tym większa ilość ciepła jest przewodzona w jednostce czasu. Najmniejszą przewodność cieplną wykazują gazy, największą - metale. Spośród metali najlepszym przewodnikiem ciepła jest srebro.

Przewodność cieplna zależy ponadto od temperatury; dla gazów ze wzrostem temperatury rośnie; dla cieczy maleje, a dla metali jest w przybliżeniu stała.

W tablicy 8.1 podano wartości przewodności cieplnej dla wybranych gazów, cieczy i ciał stałych.

Tablica 8.1. Współczynnik przewodzenia ciepła różnych substancji

Substancja	Temperatura T, [K]	Współczynnik przewodzenia ciepła , [W/(m K)]
Metale
Aluminium	293	229
Cyna	293	66
Cynk	293	113
Miedź	293	384
Ołów	273	35,1
Srebro	293	418
Stal	293	45
Złoto	293	311
Żelazo	293	73
Substancje stałe nieorganiczne
Beton	293	0,8 ÷1,4
Cegła	293	0,38÷0,52
Grafit	293	12 ÷170
Lód	273	2,2
Szkło	293	0,75
Substancje stałe organiczne
Guma	293	0,13÷0,21
Papier	293	0,14÷0,21
Skóra	293	0,14÷0,16
Ciecze
Rtęć	293	9,3
Olej transformatorowy	300	0,124
Woda	300	0,612
	400	0,686
	500	0,640
Gazy przy p = 0,1 MPa
C02	300	0,0169
	400	0,0250
	500	0,0331
H2	300	0,186
	400	0,228
	500	0,269
Powietrze	300	0,0265
	400	0,0339
	500	0,0411
	900	0,0635

8.3. Przewodzenie ciepła przez płaską ściankę jedno- i wielowarstwową

Jeśli powierzchnie graniczne ścianki płaskiej, jednorodnej, o grubo­ści
mają różną temperaturę
i
(rys. 8.1), to wzór Fouriera (8.2) przyjmuje postać

(8.3)

Temperatura wewnątrz ścianki zmienia się w sposób liniowy. Jeżeli ścianka składa się z kilku warstw o różnej grubości
i różnej przewodności cieplnej
, przy czym temperatura

na zewnętrznych powierzchniach ścianki wynosi odpowiednio
i
(rys. 8.2), to natężenie strumienia przewodzonego ciepła wyraża się wzorem

(8.4)

Dla ścianki złożonej z dowolnej liczby n warstw wzór (8.4) ma postać

(8.5)

Wielkość
/
, nazywa się oporem cieplnym ścianki.

8.4. Przejmowanie ciepła

Przejmowanie ciepła to zjawisko wymiany ciepła między powierzch­nią ciała stałego a opływającym ją płynem (cieczą lub gazem). Natężenie strumienia cieplnego jest w tym przypadku wyrażone prawem Newtona

(8.6)

gdzie: T_w - temperatura powierzchni ciała stałego,

T_f - temperatura płynu w dużej odległości od powierzchni ciała stałego,

- współczynnik przejmowania ciepła.

Przebieg zmienności temperatury pod­czas przejmowania ciepła przedstawia rys. 8.3.

Wyznaczenie współczynnika przejmo­wania ciepła jest trudne, ponieważ, od­miennie niż
, zależy on od wielu czyn­ników i zmienia się w bardzo szerokich granicach. Na jego wartość wpływają m.in. prędkość i kierunek przepływu względem powierzchni ciała stałego, parametry fizy­czne płynu takie, jak gęstość, lepkość i prze­wodność cieplna, a ponadto kształt i wy­miary powierzchni ciała stałego.

Rys. 8.3. Przejmowanie ciepła

Na ogół zależność między współczynnikiem przejmowania ciepła a wymieniony­mi wyżej wielkościami wyznacza się doświadczalnie. Korzysta się przy tym z tzw. liczb podobieństwa, z których najważniejsze to:

• liczba Reynoldsa, charakteryzująca rodzaj przepływu płynu

(8.7)

• liczba Prandtla

(8.8)

• liczba Grashofa

(8.9)

• liczba Nusselta

(8.10)

gdzie: w - prędkość przepływu, m/s,

l - charakterystyczny wymiar liniowy ciała stałego, m,

- lepkość kinematyczna, m²/s,

c_p - ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu, J/(kgK),

- gęstość, kg/m³,

- przewodność cieplna płynu, W/(mK),

g - przyspieszenie grawitacyjne, m/s²,

- współczynnik rozszerzalności objętościowej,

- współczynnik przejmowania ciepła, W/(m²K).

W wyniku żmudnych doświadczeń dla typowych przypadków przejmowania ciepła ustalono zależności między liczbą Nusselta a in­nymi liczbami podobieństwa. Na przykład dla przepływu płynu we­wnątrz rury o przekroju kołowym zależność ta ma postać

(8.11)

Sposób korzystania z zależności typu (8.11) jest następujący. Dla konkretnego przypadku obliczeniowego (tzn. dla określonych wartości w, l, v,
,
, c_p) oblicza się prawą stronę równania (8.11) i następnie wg wzoru (8.10) wyznacza szukany współczynnik przejmowania ciepła

(8.12)

8.5. Przenikanie ciepła

Przenikanie ciepła to proces wy­miany ciepła między dwoma płynami oddzielonymi od siebie ścianką z cia­ła stałego (rys. 8.4). Zjawisko składa się z przejmowania ciepła przez ściankę od płynu 1, przewodzenia ciepła przez ściankę i przejmowania ciepła od ścianki przez płyn 2.

Rys. 8.4. Przenikanie ciepła

Natężenie strumienia cieplnego przenikającego między płynami jest określone wzorem

(8.13)

Występująca w tym wzorze wielkość

(8.14)

nazywa się współczynnikiem przenikania ciepła.

8.6. Wymienniki ciepła

Wymiennik ciepła jest urządzeniem, w którym zachodzi przenikanie ciepła z jednego środowiska do drugiego. Istnieją dwa ich podstawowe rozwiązania: wymienniki z przepływem współprądowym i wymienniki z przepływem przeciwprądowym.

Przepływ współprądowy (rys. 8.5a) ma miejsce wtedy, gdy kierunki przepływu obu czynników A i B są zgodne. Przepływ przeciwprądowy (rys. 8.5b) to taki, w którym kierunki przepływu czynników są przeciwne.

Na rysunku 8.5 podano ponadto przebieg temperatury czynników wzdłuż powierzchni A_c wzajemnego kontaktu przez ściankę dzielącą (zwanej powierzchnią wymiany ciepła) dla wymiennika współprądowe­go (rys. 8.5a) i przeciwprądowego (rys. 8.5b).

Rys. 8.5. Wymiennik ciepła: a) współprądowy, b) przeciwprądowy

Ilość ciepła wymienianego w wymienniku, tzn. ilość ciepła przenikają­cego w jednostce czasu przez powierzchnię ścianki oddzielającej dwa czynniki, oblicza się wg wzoru, słusznego dla obu rodzajów wymienników

(8.15)

w którym: k - współczynnik przenikania ciepła, określony wzorem (8.14),

A_c - pole powierzchni ścianki dzielącej,

- średnia logarytmiczna różnica temperatury na począt­ku i na końcu wymiennika, określona zależnością

(8.16)

8.7. Promieniowanie ciepła

Nośnikiem energii promieniowania są fale elektromagnetyczne o różnej długości, rozchodzące się z prędkością światła, równą około 300000 km/s. Promieniowanie, które nazywa się cieplnym, jest przeno­szone przez fale o długości od 0,8 do 400
m (rys. 8.6).

W przypadku ciał stałych i cieczy przekazywanie ciepła przez promieniowanie zachodzi przy wszystkich długościach fal, przy czym promieniowanie cieplne ma największy udział. Natomiast promienio­wanie gazów jest selektywne, tzn. odbywa się tylko przy określonej dla każdego z nich długości fal.

Promieniowanie padające na pewne ciało może zostać przez nie pochłonięte, przepuszczone lub odbite, przy czym zjawiska te są opisane prawami ogólnymi, słusznymi dla wszystkich rodzajów fal elektromag­netycznych.

Oznaczając: Q - całkowitą energię promieniowania padającą na ciało, Q_A - część pochłoniętą, Q_R - część odbitą, a Q_P - część przepuszczoną, można określić następujące wielkości charakteryzujące dane ciało:

• zdolność pochłaniania lub absorpcyjność

(8.17)

• zdolność odbijania lub refleksyjność

(8.18)

• zdolność przepuszczania lub przepuszczalność

(8.19)

Ponieważ
, więc po dodaniu stronami do siebie wyrażeń (8.17-8.19), otrzymujemy

A+R+P = 1

Zależnie od wartości współczynników A, R i P rozróżnia się:

• ciała doskonale białe, odbijające całkowicie promieniowanie, tzn. A=0,R=1,P=0;

• ciała doskonale czarne, pochłaniające całkowicie padające promienio­wanie, czyli A = 1, R = 0, P = 0;

• ciała doskonale przepuszczalne, tzn. A = 0, R = 0, P = 1.

W przyrodzie nie ma ciał doskonale białych, czarnych czy przepusz­czalnych. Ciała występujące w przyrodzie noszą nazwę ciał szarych, a wartości współczynników A, R i P zależą od ich struktury, tem­peratury, długości fali promieniowania.

Większość ciał stałych i cieczy jest - w przybliżeniu - nieprzepusz­czalna dla promieniowania cieplnego, czyli można przyjąć, że P = 0. Natężenie strumienia cieplnego, emitowanego przez powierzchnię ciała o temperaturze T, oblicza się na podstawie prawa Stefana­-Boltzmana - wg wzoru o postaci

(8.20)

gdzie:
- emisyjność, tj. zdolność promieniowania lub stopień czarno­ści (dla ciał szarych słuszny jest związek
= A),

-stała promieniowania ciała doskonale czarnego lub stała Stefana-Boltzmana, wynosząca

= 5,67⋅10^-8 W/(m²K⁴)

Jeśli dwie powierzchnie o temperaturze T_l i T₂ oraz emisyjności
i
wymieniają między sobą ciepło przez promieniowanie, to natężenie strumienia cieplnego określa się wg wzoru

(8.21)

w którym:
- emisyjność efektywna układu dwu ciał.

Wielkość
jest zależna od emisyjności
i
obu powierzchni oraz od ich wzajemnego usytuowania. W większości przypadków jej okreś­lenie wymaga złożonych obliczeń.

Wzór (8.21) jest słuszny tylko wtedy, gdy nie ma strat energii promieniowania, tzn. gdy cała ilość energii promieniowanej przez jedną powierzchnię pada na drugą.

Dla prostego przypadku dwu ścian równoległych (rys. 8.7)

(8.22)

Dla przypadku wymiany ciepła między powierzchniami, z których jedna zamyka w sobie drugą (rys. 8.8), wzór na
ma postać

(8.23)

gdzie: A₁ i A₂ - pola powierzchni ciał.

8.8. Złożona wymiana ciepła

W praktyce często wymiana ciepła przez przejmowanie (q_k zachodzi jedno­cześnie z wymianą ciepła przez promienio­wanie (q_pr). Zjawisko to nazwano złożoną wymianą ciepła (rys. 8.9).

Rys. 8.9. Złożona wymiana ciepła

Natężenie stru­mienia cieplnego oblicza się wtedy wg wzoru

(8.24)

w którym:
- efektywny współczynnik przejmowania ciepła, uwzględniający działanie zarówno konwekcji, jak promieniowania, tzn.

(8.25)

gdzie:
- współczynnik przejmowania ciepła, określony wzorem (8.12),

- poprawka umożliwiająca uwzględnienie promieniowania.

Przykłady

Przykład. 8.1. Ściana komory chłodniczej składa się z trzech warstw (patrz rys. 8.2): blachy stalowej grubości
= 1 mm, korka -
= 30 mm i drewna -
= 18 mm. Przewodność cieplna wymie­nionych materiałów wynosi odpowiednio:
= 48 W/(m⋅ K),

= 0,07 W/(m⋅K),
= 0,116 W/( m⋅K). Pole powierzchni ściany A = 6 m². Obliczyć strumień ciepła przewodzony przez ścianę, jeśli temperatura na powierzchni zewnętrznej blachy stalowej wynosi T_w2 = 270 K, a na zewnętrznej powierzchni drewna T_w1 = 300 K.

Rozwiązanie

Zgodnie z wzorami (8.1) i (8.4) strumień ciepła przewodzony przez ścianę

W

Przykład 8.2. Okno o podwójnej szybie ma wymiary: szerokość 1,5 m, wysokość 1 m. Grubość szyb wynosi 2 mm, odległość między szybami 36 mm. Obliczyć stratę ciepła w oknie w przypadku okna kompletnego i po stłuczeniu jednej z szyb, jeśli są znane: temperatura w pomieszczeniu T_w = 295 K, temperatura zewnętrzna T_z = 260 K, współczynnik przej­mowania ciepła od strony pomieszczenia do szyby
= 6 W/(m²⋅K), współczynnik przejmowania ciepła od szyby zewnętrznej do powietrza
= 30 W/( m²⋅K), przewodność cieplna szkła
= 0,74 W/(m⋅K), przewodność cieplna powietrza
= 0,0232 W/(m⋅K).

Założyć, że wymiana ciepła w przestrzeni między szybami odbywa się jedynie przez przewodzenie.

Rozwiązanie

Pole powierzchni okna wynosi

A = a⋅b = 1,5 ⋅ 1 = 1,5 m². W przypadku okna kompletnego strumień ciepła

W

Po stłuczeniu jednej z szyb strumień ciepła

W

Przykład 8.3. Stalowa rura o emisyjności powierzchni
= 0,64 przebie­ga osiowo w kanale o przekroju kołowym, wykonanym z czerwonej cegły o emisyjności
= 0,92. Rura ma średnicę zewnętrzną d_r = 300 mm i temperaturę powierzchni T_r = 700 K. Kanał ma średnicę wewnętrzną d_z = 900 mm i temperaturę powierzchni T_k = 350 K. Ile wynosi strumień ciepła przekazany w drodze promieniowania do powierzchni kanału przez rurę długości l_r = 10 m?

Rozwiązanie

Zgodnie ze wzorem (8.23) emisyjność efektywna wynosi

Strumień ciepła, zgodnie z wzorem (8.21), jest równy

W = 75,74 kW

Przykład 8.4. Obliczyć powierzchnię wymiany ciepła we współprądo­wym wymienniku ciepła o mocy cieplnej (strumieniu cieplnym)
= 160 kW, w którym - kosztem spadku temperatury wody ogrzewają­cej od 373 do 350 K - następuje podgrzanie wody od temperatury 280 do 330 K. Przyjąć współczynnik przenikania ciepła k = 1160 W/(m K).

Rozwiązanie

Zgodnie z wzorami (8.15) i (8.16) powierzchnia wymiany ciepła wynosi

m²

Przykład 8.5. Obliczyć współczynnik przejmowania ciepła w przypadku przepływu powietrza przez kanał o przekroju kołowym o średnicy d = 0,0212 m. Średnia temperatura powietrza wynosi t = 24°C, a pręd­kość przepływu w = 56 m/s.

Rozwiązanie

Parametry fizyczne powietrza odpowiadające średniej temperaturze t = 24°C wynoszą:

• lepkość kinematyczna v = 16,1⋅ 10^-6 m²/s

• przewodność cieplna
  = 0,0254 W/(mK)

• ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu c_p = 1 kJ/(kg K)

• gęstość
  = 1,139 kg/m³

Liczba Prandtla

Liczba Reynoldsa

Liczba Nusselta

Wartość współczynnika przejmowania ciepła

W/(m²⋅K)

Zadania

Zadanie 8.1. Ściana pieca składa się z dwóch warstw: cegły o grubości
= 200 mm i przewodności cieplnej
= 0,75 W/(m⋅K) oraz materia­łu izolacyjnego o grubości
= 100 mm i przewodności cieplnej
= 0,08 W/(m⋅K). Obliczyć strumień ciepła przewodzonego przez ścianę, jeśli ma ona powierzchnię A = 1m². Temperatura wewnętrznej powierzchni ścianki T_w1 = 983 K, temperatura powierzchni izolacji T_w3 = 323 K.

Odp.
= 429 W, T_w2 = 858 K

Zadanie 8.2. Obliczyć ilość ciepła przenikającego przez płaską ścian­kę o powierzchni A = 3 m², grubości
= 0,05 m i przewodności cie­plnej
= 2 W/(m⋅K) od czynnika o temperaturze T_f1 = 473 K do czynnika o temperaturze T_f2 = 323 K. Wartości współczynnika przej­mowania ciepła po obu stronach ścianki wynoszą odpowiednio
= 150 W/(m²⋅K) oraz
= 60 W/(m² ⋅K). Obliczyć także wartości temperatury obu powierzchni ścianki.

Odp.
= 9310 W, T_w1 = 452,3 K, T_w2 = 374,4 K

Zadanie 8.3. W wymienniku ciepła płyn jest ogrzewany od temperatury 293 K do 343 K, przy czym czynnik ogrzewający ochładza się od temperatury 453 K do temperatury 353 K. Obliczyć powierzchnię wymienników przeciwprądowego i współprądowego, jeśli wydajność cieplna wynosi
= 106 W, a współczynnik przenikania ciepła k = 100 W/(m²⋅K).

Odp. Wymiennik współprądowy: A_w = 184,4 m²; wymiennik przeciw­ prądowy: Aw = 121,2 m².

1

12

---