24. Drgania
24.1 Ruch drgajcy prosty.
Ruch drgajcy jest ruchem okresowym. Punkt materialny przebywa stale w okolicach pooenia równowagi.
Okres (T) - czas 1 penego drgnicia
Czstotliwo :
Amplituda (A) - maksymalne wychylenie z pooenia równowagi.
Wychylenie :
Oznaczenia
f - czstotliwo; T - okres; X - wychylenie; t - czas; A - amplituda; - prdko ktowa
24.2 Prdko i przyspieszenie w ruchu drgajcym prostym.
24.2.1 Prdko w ruchu drgajcym prostym.
Prdko :
24.2.2 Przyspieszenie w ruchu drgajcym prostym.
Przyspieszenie :
Przyspieszenie jest zawsze skierowane przeciwnie do wychylenia.
Oznaczenia
V - prdko; a - przyspieszenie; T - okres; X - wychylenie; t - czas; A - amplituda; - prdko ktowa
24.3 Sia w ruchu drgajcym prostym.
Sia :
,
Oznaczenia
F - sia; m - masa; k - wspóczynnik sprystoci spryny (cecha charakterystyczna spryny); X - wychylenie; - prdko ktowa
24.4 Energia w ruchu drgajcym prostym.
Energia cakowita :
Oznaczenia
A - amplituda; E - energia cakowita; k - wspóczynnik sprystoci spryny (cecha charakterystyczna spryny)
24.5 Okres drga spryny.
Spryna wykonuje ruch drgajcy prosty. Zakadamy, e spryna wisi swobodnie pionowo w dó, do niej jest podczepiony ciarek.
Okres drga :
Oznaczenia
m - masa ciarka; k - wspóczynnik sprystoci spryny (cecha charakterystyczna spryny); T - okres
24.6 Równanie ruchu drgajcego prostego (równanie oscylatora harmonicznego).
Równanie :
Czon przy X bdzie zawsze 2 prdkoci ktowej.
Rozwizanie :
Oznaczenia
X - wychylenie; t - czas; - prdko ktowa; A - amplituda;
24.7 Wahado matematyczne.
Jest to punkt materialny zawieszony na niewakiej i nierozcigliwej nici. Kt wychylenia nie przekracza 16o.
24.8 Okres wahada matematycznego.
Okres :
Po umieszczeniu wahada w windzie, okres zmieni si nastpujco :
gdy winda przyspiesza w dó :
gdy winda hamuje w dó :
gdy winda spada, wahado jest w stanie niewakoci
Oznaczenia
T - okres; l - dugo wahada; g - przyspieszenie ziemski (grawitacja);
a - przyspieszenie windy.
24.9 Wahado fizyczne.
Jest to wahajca si brya sztywna.
24.10 Okres wahada fizycznego.
Okres :
Oznaczenia
T - okres; I - moment bezwadnoci wahada; g - przyspieszenie ziemski (grawitacja); m - masa wahada; d - odlego rodka cikoci od punktu zaczepienia.
24.11 Równanie wahada fizycznego.
Równanie :
Czon przy bdzie zawsze 2 prdkoci ktowej.
Oznaczenia
I - moment bezwadnoci wahada; g - przyspieszenie ziemski (grawitacja); m - masa wahada; d - odlego rodka cikoci od punktu zaczepienia; - maxymalny kt wychylenia wahada.
24.12 Zredukowana dugo wahada matematycznego.
Jest to dugo wahada matematycznego, przy której jego okres jest równy okresowi wahada fizycznego.
Oznaczenia
I - moment bezwadnoci wahada; m - masa wahada; d - odlego rodka cikoci od punktu zaczepienia; l - dugo.
24.13 Drgania elektromagnetyczne.
Obwód drgajcy :
Obwód jest wykonany z nadprzewodnika. Skada si z naadowanego kondensatora i zwojnicy. Energia kondensatora :
. Po zamkniciu obwodu kondensator rozaduje si - popynie prd o malejcym nateniu. Energia kondensatora zmieni si w energi pola elektrycznego :
. Poniewa, e w obwodzie popynie prd o zmiennym nateniu, to w zwojnicy wyindukuje si prd, którego kierunek zgodny bdzie z regu Lenza (zob.pkt.23.2) - w tym samym kierunku :
.Najwikszy prd indukcyjny bdzie, gdy kondensator bdzie cakowicie rozadowany. Caa energia bdzie skupiona w zwojnicy. Prd indukcyjny ponownie naaduje kondensator, lecz o przeciwnej polaryzacji. Nastpnie popynie prd w przeciwnym kierunku, który wyindukuje na zwojnicy prd o tym samym kierunku i ponownie naaduje kondensator. Itd.
Drgania elektromagnetyczne polegaj na zamianie pola elektrycznego na magnetyczne i odwrotnie.
Oznaczenia
Q - cakowity adunek w obwodzie; I - natenie prdu; EL = energia pola elektrycznego; EC - energia kondensatora; C - pojemno kondensatora; U - napicie (rónica potencjaów; l - dugo zwojnicy; L - wspóczynnik samoindukcji (cecha charakterystyczna zwojnicy) (zob.pkt.23.3);
24.14 Okres drga elektromagnetycznych.
Okres :
Oznaczenia
C - pojemno kondensatora; L - wspóczynnik samoindukcji (cecha charakterystyczna zwojnicy) (zob.pkt.23.3);
24.15 Skadanie drga harmonicznych.
a) Skadanie drga wzdu tego samego kierunku :
Aby powstao drganie harmoniczne, czstotliwoci wahade musz by takie same.
Wychylenie :
Oznaczenia
X - wychylenie; 1(2) - prdko ktowa pierwszego (drugiego) wahada;
A - amplituda; t - czas;
b) Skadanie drga wzajemnie prostopadych : Etapy ruchu : 1) \ 2) o 3) / 4) o 5) \
Wychylenie :
;
;
Oznaczenia
X - wychylenie pierwszego wahada; Y - wychylenie drugiego wahada; - prdko ktowa pierwszego wahada;
A1(2) - amplituda pierwszego (drugiego) wahada; t - czas;
c) Skadanie 2 drga przesunitych o 90o :
Wychylenie :
Te dwa równania tworz ukad równa. Inna jego posta :
- jest to równanie elipsy. Jej wykres nazywamy krzyw Lissajous.
Oznaczenia
X - wychylenie pierwszego wahada; Y - wychylenie drugiego wahada; - prdko ktowa pierwszego wahada;
A1(2) - amplituda pierwszego (drugiego) wahada; t - czas;
24.16 Okres drga spryny uoonej poziomo.
Tarcie pomijamy. Okres :
Oznaczenia
T - okres; M1(2) - masa pierwszego (drugiego) ciarka; k - wspóczynnik sprystoci spryny (cecha charakterystyczna spryny).
24.17 Drgania tumione.
Drgania tumione wystpuj wtedy, gdy w ukadzie dziaaj siy oporu orodka.
Sia oporu :
Wspóczynnik tumienia :
Wychylenie :
Oznaczenia
M - masa; FO - sia oporu; b - wspóczynnik oporu;
V - prdko; - wspóczynnik tumienia; A - amplituda;
t - czas; - prdko ktowa (zob.pkt.24.19).
24.18 Równanie ruchu drgajcego tumionego.
Równanie :
Ten przypadek jest gdy :
. Gdy
, to zostanie wykonany tylko jeden okres. Gdy
, mamy do czynienia wtedy z przypadkiem periodycznym - wahado zatrzyma si przed upywem jednego okresu.
24.19 Prdko ktowa wahada w drganiach tumionych.
Prdko :
Oznaczenia
- wspóczynnik tumienia; - prdko ktowa; 0 - pocztkowa prdko ktowa.
24.20 Logarytmiczny dekrement tumienia.
Mówi nam, jak maleje amplituda :
Oznaczenia
- logarytmiczny dekrement tumienia; - wspóczynnik tumienia; An - n-ta amplituda (n"N); An+1 - n-ta-plus-jeden amplituda (n"N);
24.21 Czas relaxacji.
Czas, po którym amplituda zmaleje e razy:
Oznaczenia
- wspóczynnik tumienia; - czas relaxacji;
24.22 Drgania elektromagnetyczne tumione.
Jest to obwód RLC.
Wspóczynnik tumienia :
adunek :
Podczas drga tumionych mamy do czynienia z rozpraszaniem energii.
Oznaczenia
- wspóczynnik tumienia; R - opór; L - wspóczynnik samoindukcji (cecha charakterystyczna zwojnicy) (zob.pkt.23.3); t - czas; - prdko ktowa; Q - adunek; Q0 - adunek pocztkowy.
24.23 Równanie ruchu drgajcego elektromagnetycznego tumionego.
Równanie :
Oznaczenia
- wspóczynnik tumienia; Q - adunek pocztkowy; t - czas; 0 - prdko ktowa pocztkowa;
24.24 Drgania wymuszone.
Mamy z nimi do czynienia w tedy, gdy oprócz siy sprystoci spryny i oporu wystpuje sia wymuszajca ruch. Ma ona posta :
.
Amplituda :
Oznaczenia
- wspóczynnik tumienia; t - czas; - prdko ktowa;
F - sia wymuszajca; FO - maksymalna sia wymuszajca (?).
24.25 Prdko i przyspieszenie w drganiach wymuszonych.
24.25.1 Prdko w drganiach wymuszonych.
Prdko :
Oznaczenia
t - czas; - prdko ktowa; A - amplituda; - kt;
V - prdko.
24.25.2 Przyspieszenie w drganiach wymuszonych.
Przyspieszenie :
Oznaczenia
t - czas; - prdko ktowa; A - amplituda; - kt;
a - przyspieszenie.
24.26 Równanie ruchu drgajcego wymuszonego.
Równanie :
24.27 Rezonans.
Jest to proces przekazywania jednemu ciau przez drugie o okresie równym okresowi drga wasnych. Wyróniamy rezonans mechaniczny (jedno wahadeko przekazuje innym), akustyczny (jeden kamerton przekazuje drgania drugiemu) i elektromagnetyczny (dwa obwody LC). Warunek rezonansu elektromagnetycznego :
.
Oznaczenia
L1(2).- wspóczynnik samoindukcji zwojnicy w pierwszym (drugim) obwodzie (cecha charakterystyczna zwojnicy) (zob.pkt.23.3); C1(2) - pojemno kondensatora w pierwszym (drugim) obwodzie.
25. Fale.
fala - proces rozchodzenia si drga.
Jest zoeniem ruchu drgajcego i jednostajnego prostoliniowego.
Aby dane zjawisko mona byo nazwa fal, musi ono ulega czterem procesom : odbiciu (zob.pkt.25.15), interferencji (zob.pkt.25.17), ugiciu (zob.pkt.25.14) i zaamaniu (zob.pkt.25.16).
25.1 Przemieszczenie i wektor propagacji.
Przemieszczenie :
Wektor propagacji (k) :
Oznaczenia
- funkcja falowa (przemieszczenie); - prdko ktowa;
V - prdko rozchodzenia si fali; k - wektor propagacji;
A - amplituda;0 - faza pocztkowa; X - odlego od róda;
25.2 Dugo, okres i czstotliwo fali. Powierzchnia falowa.
25.2.1 Okres fali.
Okres (T) - czas rozejcia si jednego penego drgania.
25.2.2 Dugo fali.
Dugo fali () - najblisza odlego midzy punktami o tej samej fazie drga.
25.2.3 Czstotliwo fal.
Czstotliwo :
Oznaczenia
T - okres; f - czstotliwo.
25.2.4 Powierzchnia falowa.
Powierzchnia falowa - zbiór punktów o tej samej fazie drga.
25.3 Prdko rozchodzenia si fali.
Prdko fali :
Prdko rozchodzenia si fali w danym orodku jest zawsze staa.
Oznaczenia
V - prdko rozchodzenia si fali; - dugo fali; T - okres;
f - czstotliwo.
25.4 Klasyfikacja fal.
Podzia ze wzgldu na kierunek rozchodzenia si czsteczek :
poprzeczne - kierunek ruchu czstki jest " do kierunku rozchodzenia si fali
podune - - kierunek ruchu czstki jest zgodny z kierunkiem rozchodzenia si fali
Podzia ze wzgldu na powierzchni falow :
paskie - powierzchnia falowa jest paska (np. fale na wodzie)
kuliste - powierzchnia falowa jest kulista (np. akustyczne, elektromagnetyczne)
Podzia fal ze wzgldu na widmo :
podczerwie;
widmo widzialne (
);
nadfiolet;
promieniowanie rentgenowskie;
promieniowanie gamma (jdrowe);
promieniowanie kosmiczne
Podzia fal radiowych :
dugie;
rednie;
krótkie;
ultrakrótkie;
mikrofale (telewizja, radar, kuchenka mikrofalowa);
Oznaczenia
- dugo fali.
25.5 Natenie fali.
Jest to energia przeniesiona przez fal w jednostce czasu przez jednostkow powierzchni :
.
Oznaczenia
I - natenie fali; E - energia przeniesiona przez fal; t - czas;
s - powierzchnia.
25.6 Fala akustyczna.
Fala akustyczna polega na rozchodzeniu si zaburze gstoci orodka. ródem dwików syszalnych s wszystkie ciaa drgajce, które maj dostateczn energi, aby wywoa w naszym uchu najsabsze wraenia suchowe.
Wysoko dwiku zaley od czstotliwoci;
Gono dwiku zaley od natenia;
Barwa odrónia dwiki w zalenoci od pochodzenia;
Dwiki ze wzgldu na czstotliwo dzielimy na :
infradwiki |
f<16 Hz |
nie odbieramy |
|
f"(16 Hz,20 kHz) |
odbieramy |
|
f>20 kHz |
odbieramy jako ból |
Dwiki ze wzgldu na widmo dzielimy na :
dwiki, które moemy odróni (np.mowa)
szumy (np.chaas)
Ton - dwik o jednej czstotliwoci
Ucho ludzkie najlepiej wyapuje dwiki o czstotliwoci równej 1000 Hz. Natenie progowe (próg syszalnoci dla czstotliwoci = 1000 Hz) :
.
Krzywa syszalnoci ucha ludzkiego :
Oznaczenia
I0 - natenie progowe; f - czstotliwo.
25.7 Poziom syszalnoci.
Poziom syszalnoci :
Oznaczenia
I0 - natenie progowe (zob.pkt.25.6); I - natenie; - poziom syszalnoci.
25.8 Zjawisko Dopplera.
Jest to proces polegajcy na zmianie czstotliwoci odbieranego dwiku, gdy obserwator lub ródo znajduj si w ruchu.
Gdy ródo zblia si do obserwatora :
Gdy ródo oddala si od obserwatora :
Oznaczenia
V - prdko dwiku; U - prdko obserwatora; V1 - prdko róda dwiku; f - czstotliwo róda; f' - czstotliwo odbierana.
25.9 Ultradwiki i syrena Sebecka.
25.9.1 Ultradwiki.
Dwik jest wydawany przez ciao drgajce. Gdy przyoymy do krysztau kwarcu pole elektryczne, to kryszta zacznie drga z czstutliwoci ultradwików. Ultradwiki maj due zastosowanie w detektorach wad materiaów itp.
25.9.2 Syrena Sebecka.
Jest to urzdzenie do wytwarzania ultradwików. Skada si z dwóck okrgych, dziurkowanych pyt, z których jedna si krci.
25.10 Propagacja fal elektromagnetycznych.
Propagacja - rozprzestrzenianie. Do propagacji uywa si obwodu LC wyposaonego dodatkowo w generator drga niegasncych.
;
Jak wida, w obwodzie drgajcym napicie wzgldem natenia s przesunite o 90o. Energia pola elektrycznego jest w stosunku do energi pola megnetycznego przesunita o 90o.
Oznaczenia
I0 - natenie pocztkowe; I - natenie; - prdko ktowa; t - czas;
U - rónica potencjaów (napicie); U0 - pocztkowa rónica potencjaów.
25.11 Prawa Maxwella.
25.11.1 Pierwsze prawo Maxwella.
Zmienne pole elektryczne wytwarza wokó siebie wirowe pole magnetyczne.
25.11.2 Drugie prawo Maxwella.
Zmienne pole magnetyczne wytwarza wokó siebie wirowe pole elektryczne.
25.12 Waciwoci fal elektromagnetycznych.
w próni rozchodz si z prdkoci wiata;
ich czstotliwoci s mae, dugoci due
25.13 Modulacja fal.
Jest to proces zapisywania informacji na fali elektromagnetycznej.
25.14 Zjawisko ugicia i zasada Hugensa.
25.14.1 Zjawisko ugicia fali.
Jest to zmiana kierunku rozchodzenia si fali podczas przejcia fali przez otwór w przeszkodzie.
25.14.2 Zasada Hugensa.
Kady punkt orodka, do którego dotrze zabuenie, staje si ródem fal czstkowych. Powierzchnia styczna do wszystkich fal czstkowych jest powierzchni falow. Efekt na rysunku w pkt.25.14.1 jest superpozycj fal czstkowych.
25.15 Odbicie fal.
Odbicie - zmiana kierunku rozchodzenia si fali podczas zetknicia z przeszkod.
Jeeli fala odbija si od orodka gstszego ni ten, w którym si rozchodzi, nastpuje zmiana fazy fali na przeciwn (uderza grzbietem, odbija si dolin).
Kt odbicia = kt padania.
Promie fali, normalna do powierzchni i promie fali odbitejle w tej samej paszczynie.
25.16 Zaamanie fali.
Zjawisko zaamania polega na zmianie kierunku rozchodzenia si fali podczas przejcia z jednego orodka do drugiego :
Promie fali padajcej i promie fali zaamanej le w tej samej paszczynie.
Gdy kt padania jest mniejszy od ktu zaamania, to V1<V2
Oznaczenia
- kt padania; - kt zaamania; V1(2) - prdko rozchodzenia si fali w pierwszym (drugim) orodku.
25.17 Interferencja fal i ogólny warunek wzmocnienia i wygaszenia fali.
25.17.1 Interferencja fal.
Jest to proces nakadania si fal na siebie. Interferowa mog tylko fale spójne - ich rónica faz nie zaley od czasu. Fale bd interferowa wtedy, gdy maj jednakowe prdkoci ktowe lub czstotliwoci. Cechami charakterystycznymi s wzmocnienia i wygaszenia fali; wzmocnienia otrzymujemy wtedy, gdy fale spotkaj si w zgodnej fazie; wygaszenia - gdy w przeciwnej.
25.17.2 Ogólny warunek wzmocnienia fali
Ogólny warurek wzmocnienia :
,
,
25.17.2 Ogólny warunek wygaszenia fali.
Ogólny warurek wygaszenia :
,
Oznaczenia
R2 - odlego drógiego róda od miejsca interferencji; R1 - odlego pierwszego róda od miejsca interferencji;
25.18 Fala stojca.
Jest to szczególny przypadek interferencji fal (zob.pkt.25.17.1). Powstaje w wyniku naoenia si na siebie fali biegncej z fal odbit.
Powstaj wzy (wygaszenie fali) i strzaki (wzmocnienie fali). Wzy, tak jak strzaki, znajduj si w odlegoci
od siebie.Fala stojca nie przenosi fali, mona j traktowa jako rezonans skoczonej liczby punktów drgajcych.
Oznaczenia
- dugo fali.
25.19 Czstotliwo fali stojcej na strunie.
Czstotliwo :
,
Oznaczenia
f - czstotliwo; V - prdko fali; l - dugo struny; n - ilo wzmocnie (zob.pkt.25.18) (ilo mocowa struny minus 1).
25.20 Rura Kundta.
Jest to rura szklana zamknita na obu kocach. Wewntrz jest sproszkowany korek. Drewniany ruchomy prt pozwala dopasowa sup powietrza.
Rura Kundta suy do wyznaczania prdkoci fal w rónych materiaach :
Oznaczenia
VM - prdko fali w metalu; VP - prdko fali w powietrzu; l - dugo supa powietrza; L - dugo prtu od pkt. zaczepienia do korka.
25.21 Polaryzacja fal i prawo Mallusa.
Jest tov proces selekcji drga. Fala jest spolaryzowana liniowo, jeeli wszystkie drgania zachodz w jednym kierunku. Do polaryzacji suy polaryzator. Najprostszym polaryzatorem jest karton z wycit w rodku szczelin. Szczelina ta nazywa si osi polaryzatora.
Prawa polaryzacji :
Jeeli fala spolaryzowana liniowo, której kierunek drga jest zgodny z osi polaryzatora pada na polaryzator, to fala ta przejdzie przez niego w caoci i pozostanie niezmieniona.
Jeeli na polaryzator pada fala spolaryzowana liniowo, przy czym kierunek polaryzacji fali jest " do osi polaryzatora, to po przejciu przez polaryzator fala zostanie przez niego zatrzymana.
Jeeli na polaryzator pada fala spolaryzowana liniowo, której kierunek drga tworzy z osi polaryzatora kt , to po przejciu przez polaryzator otrymamy fal spolaryzowan liniowo zgodnie z osi polaryzatora, a jej natenie bdzie speniao prawo Mallusa :
Po przejciu fali niespolaryzowanej przez polaryzator otrzymamy fal spolaryzowan liniowo zgodnie z osi polaryzatora, a jej natenie spenia wzór :
.
Fale akustyczne nie ulegaj polaryzacji.
Aby sprawdzi, czy fala po przejciu przez polaryzator ulega polaryzacji, ustawiamy na jej drodze analizator (drugi polaryzator).
Oznaczenia
I - natenie; I0 - natenie pocztkowe.
25.22 Radar.
Jest to ukad nadajnika i odbiornika, dziaajcych w zakresie mikrofal. Sygna wysyany odbija si od przeszkody i wraca.
Odlego midzy pikami pozwala na obliczenie odlegoci intruza od nadajnika.