Fizyka Kąkol wykład 23

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 23

23. Indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego

23.1 Indukcyjność

23.1.1 Transformator

Gdy dwie cewki są nawinięte na tym samym rdzeniu (często jedna na drugiej) to

prąd zmienny w jednej wywołuje SEM indukcji w drugiej.
N

1

- liczba zwojów w cewce pierwotnej, N

2

- liczba zwojów w cewce wtórnej

t

N

U

B

d

d

2

2

φ

=

oraz

t

N

U

B

d

d

1

1

φ

=


Stosunek napięć

1

2

1

2

N

N

U

U =

(23.1)


Widać, że regulując ilość zwojów w cewkach możemy zamieniać małe napięcia na duże
i odwrotnie.

Przykład 1

Obliczmy straty mocy w linii przesyłowej o oporze 10

Ω przesyłanej z generatora

10 MW gdy napięcie wynosi 1.5·10

4

oraz 10

5

V.

P = IU
P

strat

= I

2

R = (P/U)

2

R

P

strat1

= 4.4 MW (44%)

P

strat2

= 0.1 MW (1%)

23.1.2 Indukcyjność własna

Gdy natężenie prądu przepływającego przez cewkę zmienia się to zmienia się też

strumień przez każdy zwój tej cewki więc zgodnie z prawem indukcji Faradaya induku-
je się SEM. Tę siłę elektromotoryczną nazywamy

siłą elektromotoryczną samoindukcji

.

t

N

d

d

φ

ε −

=

(23.2)


Wielkość N

φ jest całkowitym strumieniem zawartym w obwodzie i nosi nazwę strumie-

nia skojarzonego. Strumień skojarzony jest proporcjonalny do prądu płynącego przez
cewkę.

N

φ = LI

(23.3)

23-1

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Stała proporcjonalności

L = N

φ/I

(23.4)


nazywana jest

indukcyjnością.

Zróżniczkowanie(po czasie) równania (23.3) daje

t

I

L

t

N

d

d

d

d =

φ

Stąd

t

I

L

d

d

=

ε

(23.5)


Jednostką L jest henr. 1 H = 1 Vs/A
Jako przykład obliczmy indukcyjność cewki o długości l

0

i N zwojach.

Strumień przez każdy zwój wynosi

φ = BS

gdzie B dla cewki wynosi

B =

µ

0

nI =

µ

0

I(N/l

0

)

Zatem

I

l

NS

0

0

µ

φ =


Indukcyjność L otrzymujemy mnożąc strumień przez N/I

0

2

0

l

S

N

L

µ

=

(23.6)


Zauważmy, że L zależy tylko od geometrii.

23.1.3 Indukcja wzajemna

Omawiając transformator pokazywaliśmy, że dwie cewki mogą oddziaływać na sie-

bie. Prąd zmienny w jednej wywoływał SEM w drugiej. Tym razem strumień przecho-
dzący przez cewkę 2 jest proporcjonalny do prądu płynącego przez cewkę 1.

N

2

φ

21

= M

21

I

1


Stałą proporcjonalności M

21

nazywamy

indukcją wzajemną.

Różniczkując to równanie otrzymujemy

t

I

M

t

N

d

d

d

d

1

21

21

2

=

φ

Stąd

23-2

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

t

I

M

d

d

1

21

2

=

ε


Jeżeli zmieniamy prąd I

2

to analogicznie

t

I

M

d

d

2

12

1

=

ε


Można pokazać (ale w skomplikowany sposób), że

M

12

= M

21

= M


Podobnie jak L tak samo M zależy tylko od

geometrii układu

.


23.2 Obwody RC i RL, stałe czasowe

Zaczniemy teraz zajmować się prądami zmieniającymi się w czasie.

23.2.1 Obwód RC
Rozpatrzmy jaki prąd popłynie w obwodzie po zamknięciu wyłącznika do pozy-

cji (a).

ε

R

C

a

b

Korzystamy z prawa Kirchoffa.

C

q

IR

+

=

ε

(23.7)


W równaniu tym są dwie niewiadome I oraz q. Ale możemy skorzystać ze związku
I = dq/dt. Otrzymujemy równanie różniczkowe

C

q

R

t

q +

=

d

d

ε


Szukamy rozwiązania q(t). Ma ono postać

)

1

(

/ RC

t

e

C

q

=

ε

(23.8)

23-3

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki


Możemy sprawdzić czy funkcja ta jest rozwiązaniem równania różniczkowego poprzez
jej podstawienie do tego równania.
Prąd obliczamy różniczkując dq/dt

RC

t

e

R

t

q

I

/

d

d

=

=

ε


Rysunki przedstawiają zależność q(t) oraz I(t).

q

t

I

ε/R

t

Jeżeli teraz przełączymy wyłącznik do pozycji (b) to będziemy rozładowywać konden-
sator. Teraz w obwodzie nie ma

ε i prawo Kirchoffa przyjmuje postać

0

=

+

C

q

IR

czyli

0

d

d

=

+

C

q

t

q

R


Rozwiązanie ma postać

RC

t

e

q

q

/

0

=

(23.9)


gdzie q

0

jest ładunkiem początkowym na kondensatorze.

Natężenie prądu przy rozładowaniu wynosi

RC

t

e

RC

q

t

q

I

/

0

d

d

=

=


W równaniach opisujących ładowanie i rozładowanie kondensatora wielkość RC ma
wymiar czasu i jest nazywana

stałą czasową

obwodu. Opisuje ona fakt, że ładunek na

kondensatorze nie osiąga od razu wartości końcowej lecz zbliża się do niej wykładni-
czo. Podobnie przy rozładowaniu.

23.2.2 Obwód RL

Analogicznie opóźnienie w narastaniu i zanikaniu prądu pojawia się w obwodzie RL

przy włączaniu lub wyłączaniu źródła SEM.

23-4

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

ε

R

L

a

b

Gdyby nie było cewki prąd osiągnąłby natychmiast wartość

ε/R. Dzięki cewce w obwo-

dzie pojawia się dodatkowo SEM samoindukcji

ε

L

, która zgodnie z regułą Lenza prze-

ciwdziała wzrostowi prądu (po włączeniu) co oznacza, że jej zwrot jest przeciwny do

ε.

Z prawa Kirchoffa otrzymujemy

0

d

=

t

L

IR

ε

d I

(23.10)

oszukujemy rozwiązania tego równania różniczkowego w postaci I(t).

P
Ma ono postać

)

1

(

/ L

Rt

e

R

I

=

ε

(23.11)

prawdzamy poprzez podstawienie do równania. Napięcie na oporniku i cewce pokaza-

S
ne jest na rysunkach poniżej.

V

t

ε

R

V

ε

t

L

arastanie prądu w obwodzie jest opisane stałą czasową

τ

L

= L/R.

i otrzymamy

N
Jeżeli przełącznik ustawimy w pozycji (b) to wyłączmy źródło SEM

0

d

=

+ IR

t

L

d I

(23.12)

rozwiązaniem

z

L

Rt

e

R

I

/

=

ε

(23.12)

23-5

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

23.3 Energia, a pole magnetyczne

awa Kirchoffa otrzymaliśmy

Pozostańmy przy obwodzie RL. Z pr

t

d


Mnożąc to równanie przez I dostajem

I

L

IR

d

+

=

ε

y

t

I

LI

R

I

d

d

2

+

ępująca:

lewa strona równania przedstawia szybkość (moc =

εI tj εdq/dt) z jaką źródło prze-

tycznym.

I

=

ε

Interpretacja tego równania z punktu widzenia pracy i energii jest nast

kazuje do obwodu energię

εq.

• pierwszy wyraz po prawej stronie to szybkość (moc) wydzielania ciepła na oporze

R.

• drugi wyraz po prawej stronie to szybkość z jaką energia gromadzi się w polu ma-

gne

To ostatnie możemy zapisać jako

t

I

LI

t

W

B

d

d

d

d

=

czyli

I

LI

dW

B

d

=

Po scałkowaniu otrzymujemy

2

2

1

d

d

LI

I

LI

W

B

B

=

=

=

W

(23.13)

ównanie określa

całkowitą

rzez, którą płynie prąd I.


R

w cewce o indukcyjności L

energię magnetyczną

zawartą

p
Porównajmy to z energią naładowanego kondensatora

C

C

2

q

W

2

1

=

(23.14)

3.4 Gęstość energii a pole magnetyczne

Rozpatrzmy solenoid o długości l i powierzchni przekroju S czyli o objętości lS.

2

Tak więc gęstość energii

23-6

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

lS

W

w

B

B

=

Ponieważ

2

1

LI

W

=

2

B

więc

LI

w

2

1

=

lS

2

B


Przypomnijmy, że

l

S

N

L

2

0

µ

=

oraz

l

N

I

In

B

0

0

µ

µ

=

=


co w połączeniu daje wyrażenie

0

2

µ

2

1 B

w

B

=

(23.15)

opisujące

gęstość energii

zawartej w ka

punkcie przestrzeni w której jest indukcja

agnetyczna B.

żdym

m

Przykład 2

Długi koncentryczny kabel składa się z cylindrycznych przewodników o promieniach

my energię zawartą w polu magnetycznym kabla na odcinku o długości l

0

a i b. Oblicz
oraz jego indukcyjność.

-

+

a

b

r

dr

pera dla przestrzeni pomiędzy cylindrami otrzym


Stosując prawo Am

amy

zyli

I

rB

0

2

µ

π =

c

r

π

2


Gęstość energii w punktach pomię

i

I

B

µ

0

=

dzy przewodam

23-7

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

2

2

2

0

I

w

B

µ

=

=

=


Rozpatrzmy teraz cienką

i. Objętość tej warstewki

ynosi:

dla odcinka kabla o długości l

0

.

nergia w tej objętości wynosi więc

2

0

2

1

1

I

B

µ 

0

0

8

2

2

2

r

r

π

π

µ

µ

(dr) warstewkę pomiędzy cylindram

w

dV = 2

πrdrl

0

E

r

r

4

8

π

c) po całej objętości obliczamy całkowitą energię

r

l

I

rl

r

I

V

w

W

B

d

d

2

d

d

0

2

0

0

2

2

2

0

π

µ

π

µ

=

=

=


Sumując (całkują

W

a

r

a

4

4

π

π

y z zależności

b

l

I

r

l

I

b

d

0

2

0

0

2

0

µ

µ

W

W

ln

d

=

=

=


Indukcyjność znajdziem

2

1

LI

U

=

2

czyli

2

2

I

U

L

=

a

b

l

L

ln

2

0

0

π

µ

=


L zależy tylko od czynników geometrycznych.

23-8


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Fizyka Kakol wyklad 17 id 176833
Fizyka Kakol wyklad 13 id 176831
Fizyka Kakol wyklad 14 id 176832
Fizyka Kakol wyklad 30 id 176839
Fizyka Kakol wyklad 24 id 176836
Fizyka Kakol wyklad 37 id 176843
Fizyka Kakol wyklad 22 id 176835
Fizyka Kąkol wykład 25

więcej podobnych podstron