Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 23
23. Indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego
23.1 Indukcyjność
23.1.1 Transformator
Gdy dwie cewki są nawinięte na tym samym rdzeniu (często jedna na drugiej) to
prąd zmienny w jednej wywołuje SEM indukcji w drugiej.
N
1
- liczba zwojów w cewce pierwotnej, N
2
- liczba zwojów w cewce wtórnej
t
N
U
B
d
d
2
2
φ
−
=
oraz
t
N
U
B
d
d
1
1
φ
−
=
Stosunek napięć
1
2
1
2
N
N
U
U =
(23.1)
Widać, że regulując ilość zwojów w cewkach możemy zamieniać małe napięcia na duże
i odwrotnie.
Przykład 1
Obliczmy straty mocy w linii przesyłowej o oporze 10
Ω przesyłanej z generatora
10 MW gdy napięcie wynosi 1.5·10
4
oraz 10
5
V.
P = IU
P
strat
= I
2
R = (P/U)
2
R
P
strat1
= 4.4 MW (44%)
P
strat2
= 0.1 MW (1%)
23.1.2 Indukcyjność własna
Gdy natężenie prądu przepływającego przez cewkę zmienia się to zmienia się też
strumień przez każdy zwój tej cewki więc zgodnie z prawem indukcji Faradaya induku-
je się SEM. Tę siłę elektromotoryczną nazywamy
siłą elektromotoryczną samoindukcji
.
t
N
d
d
φ
ε −
=
(23.2)
Wielkość N
φ jest całkowitym strumieniem zawartym w obwodzie i nosi nazwę strumie-
nia skojarzonego. Strumień skojarzony jest proporcjonalny do prądu płynącego przez
cewkę.
N
φ = LI
(23.3)
23-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Stała proporcjonalności
L = N
φ/I
(23.4)
nazywana jest
indukcyjnością.
Zróżniczkowanie(po czasie) równania (23.3) daje
t
I
L
t
N
d
d
d
d =
φ
Stąd
t
I
L
d
d
−
=
ε
(23.5)
Jednostką L jest henr. 1 H = 1 Vs/A
Jako przykład obliczmy indukcyjność cewki o długości l
0
i N zwojach.
Strumień przez każdy zwój wynosi
φ = BS
gdzie B dla cewki wynosi
B =
µ
0
nI =
µ
0
I(N/l
0
)
Zatem
I
l
NS
0
0
µ
φ =
Indukcyjność L otrzymujemy mnożąc strumień przez N/I
0
2
0
l
S
N
L
µ
=
(23.6)
Zauważmy, że L zależy tylko od geometrii.
23.1.3 Indukcja wzajemna
Omawiając transformator pokazywaliśmy, że dwie cewki mogą oddziaływać na sie-
bie. Prąd zmienny w jednej wywoływał SEM w drugiej. Tym razem strumień przecho-
dzący przez cewkę 2 jest proporcjonalny do prądu płynącego przez cewkę 1.
N
2
φ
21
= M
21
I
1
Stałą proporcjonalności M
21
nazywamy
indukcją wzajemną.
Różniczkując to równanie otrzymujemy
t
I
M
t
N
d
d
d
d
1
21
21
2
=
φ
Stąd
23-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
t
I
M
d
d
1
21
2
−
=
ε
Jeżeli zmieniamy prąd I
2
to analogicznie
t
I
M
d
d
2
12
1
−
=
ε
Można pokazać (ale w skomplikowany sposób), że
M
12
= M
21
= M
Podobnie jak L tak samo M zależy tylko od
geometrii układu
.
23.2 Obwody RC i RL, stałe czasowe
Zaczniemy teraz zajmować się prądami zmieniającymi się w czasie.
23.2.1 Obwód RC
Rozpatrzmy jaki prąd popłynie w obwodzie po zamknięciu wyłącznika do pozy-
cji (a).
ε
R
C
a
b
Korzystamy z prawa Kirchoffa.
C
q
IR
+
=
ε
(23.7)
W równaniu tym są dwie niewiadome I oraz q. Ale możemy skorzystać ze związku
I = dq/dt. Otrzymujemy równanie różniczkowe
C
q
R
t
q +
=
d
d
ε
Szukamy rozwiązania q(t). Ma ono postać
)
1
(
/ RC
t
e
C
q
−
−
=
ε
(23.8)
23-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Możemy sprawdzić czy funkcja ta jest rozwiązaniem równania różniczkowego poprzez
jej podstawienie do tego równania.
Prąd obliczamy różniczkując dq/dt
RC
t
e
R
t
q
I
/
d
d
−
=
=
ε
Rysunki przedstawiają zależność q(t) oraz I(t).
q
t
Cε
I
ε/R
t
Jeżeli teraz przełączymy wyłącznik do pozycji (b) to będziemy rozładowywać konden-
sator. Teraz w obwodzie nie ma
ε i prawo Kirchoffa przyjmuje postać
0
=
+
C
q
IR
czyli
0
d
d
=
+
C
q
t
q
R
Rozwiązanie ma postać
RC
t
e
q
q
/
0
−
=
(23.9)
gdzie q
0
jest ładunkiem początkowym na kondensatorze.
Natężenie prądu przy rozładowaniu wynosi
RC
t
e
RC
q
t
q
I
/
0
d
d
−
−
=
=
W równaniach opisujących ładowanie i rozładowanie kondensatora wielkość RC ma
wymiar czasu i jest nazywana
stałą czasową
obwodu. Opisuje ona fakt, że ładunek na
kondensatorze nie osiąga od razu wartości końcowej lecz zbliża się do niej wykładni-
czo. Podobnie przy rozładowaniu.
23.2.2 Obwód RL
Analogicznie opóźnienie w narastaniu i zanikaniu prądu pojawia się w obwodzie RL
przy włączaniu lub wyłączaniu źródła SEM.
23-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
ε
R
L
a
b
Gdyby nie było cewki prąd osiągnąłby natychmiast wartość
ε/R. Dzięki cewce w obwo-
dzie pojawia się dodatkowo SEM samoindukcji
ε
L
, która zgodnie z regułą Lenza prze-
ciwdziała wzrostowi prądu (po włączeniu) co oznacza, że jej zwrot jest przeciwny do
ε.
Z prawa Kirchoffa otrzymujemy
0
d
=
−
−
t
L
IR
ε
d I
(23.10)
oszukujemy rozwiązania tego równania różniczkowego w postaci I(t).
P
Ma ono postać
)
1
(
/ L
Rt
e
R
I
−
=
−
ε
(23.11)
prawdzamy poprzez podstawienie do równania. Napięcie na oporniku i cewce pokaza-
S
ne jest na rysunkach poniżej.
V
t
ε
R
V
ε
t
L
arastanie prądu w obwodzie jest opisane stałą czasową
τ
L
= L/R.
i otrzymamy
N
Jeżeli przełącznik ustawimy w pozycji (b) to wyłączmy źródło SEM
0
d
=
+ IR
t
L
d I
(23.12)
rozwiązaniem
z
L
Rt
e
R
I
/
−
=
ε
(23.12)
23-5
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
23.3 Energia, a pole magnetyczne
awa Kirchoffa otrzymaliśmy
Pozostańmy przy obwodzie RL. Z pr
t
d
Mnożąc to równanie przez I dostajem
I
L
IR
d
+
=
ε
y
t
I
LI
R
I
d
d
2
+
ępująca:
lewa strona równania przedstawia szybkość (moc =
εI tj εdq/dt) z jaką źródło prze-
tycznym.
I
=
ε
Interpretacja tego równania z punktu widzenia pracy i energii jest nast
•
kazuje do obwodu energię
εq.
• pierwszy wyraz po prawej stronie to szybkość (moc) wydzielania ciepła na oporze
R.
• drugi wyraz po prawej stronie to szybkość z jaką energia gromadzi się w polu ma-
gne
To ostatnie możemy zapisać jako
t
I
LI
t
W
B
d
d
d
d
=
czyli
I
LI
dW
B
d
=
Po scałkowaniu otrzymujemy
2
2
1
d
d
LI
I
LI
W
B
B
=
=
=
∫
∫
W
(23.13)
ównanie określa
całkowitą
rzez, którą płynie prąd I.
R
w cewce o indukcyjności L
energię magnetyczną
zawartą
p
Porównajmy to z energią naładowanego kondensatora
C
C
2
q
W
2
1
=
(23.14)
3.4 Gęstość energii a pole magnetyczne
Rozpatrzmy solenoid o długości l i powierzchni przekroju S czyli o objętości lS.
2
Tak więc gęstość energii
23-6
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
lS
W
w
B
B
=
Ponieważ
2
1
LI
W
=
2
B
więc
LI
w
2
1
=
lS
2
B
Przypomnijmy, że
l
S
N
L
2
0
µ
=
oraz
l
N
I
In
B
0
0
µ
µ
=
=
co w połączeniu daje wyrażenie
0
2
µ
2
1 B
w
B
=
(23.15)
opisujące
gęstość energii
zawartej w ka
punkcie przestrzeni w której jest indukcja
agnetyczna B.
żdym
m
Przykład 2
Długi koncentryczny kabel składa się z cylindrycznych przewodników o promieniach
my energię zawartą w polu magnetycznym kabla na odcinku o długości l
0
a i b. Oblicz
oraz jego indukcyjność.
-
+
a
b
r
dr
pera dla przestrzeni pomiędzy cylindrami otrzym
Stosując prawo Am
amy
zyli
I
rB
0
2
µ
π =
c
r
π
2
Gęstość energii w punktach pomię
i
I
B
µ
0
=
dzy przewodam
23-7
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
2
2
2
0
I
w
B
µ
=
=
=
Rozpatrzmy teraz cienką
i. Objętość tej warstewki
ynosi:
dla odcinka kabla o długości l
0
.
nergia w tej objętości wynosi więc
2
0
2
1
1
I
B
µ
0
0
8
2
2
2
r
r
π
π
µ
µ
(dr) warstewkę pomiędzy cylindram
w
dV = 2
πrdrl
0
E
r
r
4
8
π
c) po całej objętości obliczamy całkowitą energię
r
l
I
rl
r
I
V
w
W
B
d
d
2
d
d
0
2
0
0
2
2
2
0
π
µ
π
µ
=
=
=
Sumując (całkują
W
a
r
a
4
4
π
π
y z zależności
b
l
I
r
l
I
b
d
0
2
0
0
2
0
µ
µ
W
W
ln
d
∫
∫
=
=
=
Indukcyjność znajdziem
2
1
LI
U
=
2
czyli
2
2
I
U
L
=
a
b
l
L
ln
2
0
0
π
µ
=
L zależy tylko od czynników geometrycznych.
23-8