Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowane pary liczb rzeczywistych dla których równość oraz dzialania dodawania i mnożenia określone są następująco dla dowolnych x1, x2, y1, y2 ε IR: Zbiór liczb zespolonych oznaczamy C tzn. C = {(x,y): x,y ε IR)}. Jednostka urojona: i = (0,1), i^2= -1. Postać algebraiczna liczby zespolonej (Gauss, Euler): (x,y) = x + yi , x,yεIR. Re - realizm, Im - imaginalizm: niech z = x + yi, x,y ε IR, wówczas: Re z = x , część rzeczywista liczby zespolonej z (Realis z); Im z = y , część urojona liczby zespolonej z (Imaginarius z). Liczbę zespoloną z nazywamy rzeczywistą gdy Im z = 0, nierzecz. gdy Im z ≠ 0, a urojoną gdy Re z = 0, Im z ≠ 0. Liczba sprzężona: niech z = x + yi , x,y ε IR , wówczas liczbę zespoloną z określoną wzorem z = x - yi nazywamy liczbą sprzężoną do liczby zespolonej z. Argument: jeśli z = x + yi ≠ 0 x,y ε IR , to każdą liczbę rzeczywistą φ spełniającą układ równań: cos φ = x / ׀z׀ sin φ = y / ׀z׀ nazywamy argumentem liczby zespolonej z i oznaczamy Arg z. Argument liczby zesp z = 0 jest dowolną liczbą rzeczywistą. Argument φ liczby zesp z należący do [0,2π) nazywamy argumentem głównym liczby zesp z i oznaczamy arg z. Arg z = arg z + 2kπ , k ε Z. Postać trygonometryczna liczby zespolonej: jeśli z ε C to: z = ׀z׀ (cosφ + isinφ) , gdzie φ = Arg z. Wzór de MOIUER'A: niech z = ׀z׀ (cosφ + isinφ) ≠ 0 , wówczas: z^n = ׀z׀^n (cos nφ + isin nφ) , n ε Z. Pierwiastek z liczby zesp: pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zesp W nazywamy każdą liczbę zespoloną z taką że: z^n = W (W≠0), n ε IN. Równanie z^n = W , ma w zbiorze liczb zesp dokladnie n różnych rozwiązań. Jeśli φ jest argumentem głównym liczby zesp to rozwiązania te dane są wzorem: Zasadnicze twierdzenie algebry: niech n ε IN, a0, a1,..., an ε C, an ≠ 0, wówczas wielomian zespolony W(z) = a0 + a1z +...+ anz^n , z ε C stopnia n ma n nieskończenie różnych pierwiastków, tzn. istnieją liczby zespolone z1, ... , zn takie, że W(z) = an(z-z1) · ... · (z-zn). Liczby te są rozwiązaniem równania zespolonego a0 + a1z + ...+ anz^n = 0. Postać wykładnicza liczby zesp: jeśli z ε C to z = ׀z׀e^iφ , gdzie φ = Arg z. z = ׀z׀ (cosφ + isinφ) = ׀z׀e^iφ . Wzory EULERA: dla x ε IR:	Macierz rzeczywistą (zespoloną) wymiaru mxn nazywamy prostokątną tablicę złożoną z m·n liczb rzeczywistych (zespolonych) ustawionych w m wierszach i n kolumnach. Zbiór wszystkich macierzy wymiaru mxn oznaczamy Mmxn . a11, a12,…, a1n A= a21, a22,…, a2n = am1, am2,…, amn = [aij] 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n = [aij] mxn A ε Mmxn. Macierz jako ciąg dwuwskaźnikowy: każda macierz rzeczywista (zesp) wymiaru mxn jest skończonym ciągiem dwuwsk liczb rzeczywistych (zesp), tzn. funkcją określoną na iloczynie kartezjańskim {1,...,m} x {1,...,n} o wartościach rzeczywistych (zesp). Macierz zerowa: macierz wymiaru mxn, krórej wszystkie wyrazy są zerami nazywamy macierzą zerową wymiaru mxn i oznaczamy θmxn lub θ. Macierz kwadratowa - macierz, której liczba wierszy równa się liczbie kolumn. Liczbę wierszy (kolumn) macierzy kwadratowej nazywamy stopniem tej macierzy. Elementy macierzy kwadr mające ten sam numer wiersza co kolumny nazywamy przekątną główną tej macierzy. Macierz diagonalna - jest to macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy leżące poza przekątną główną są równe zero. Macierz jednostkowa - macierz diagonalna stopnia n, której wszystkie elementy leżące na głównej przekątnej są równe jeden ; oznaczamy In lub I. Równość macierzy - dwie macierze są równe, gdy mają taki sam wymiar i takie same wyrazy. Iloczyn macierzy - niech A = [aij]mxn B = [bjk]nxp , wówczas iloczynem A·B nazywamy macierz C = [cik]mxp gdzie cik = ai1b1k + ... + ainbnk , 1≤i≤m 1≤k≤p. Macierz transponowana - jest to macierz A^T powstała z macierzy A przez zamianę wierszy na kolumny. Wyznacznikiem nazywamy funkcję, która każdej macierzy kwadratowej rzeczywistej (zespolonej) A przyporządkowuje liczbę rzeczywistą (zespoloną) det A zwaną wyznacznikiem macierzy kwadratowej A w następujący sposób: 1) jeśli macierz A ma stopień n=1, tzn. A = [a,n] to det A = [a11]; 2) jeśli macierz A ma stopień n≥2 to det A = Σ^nj=1 (-1)^1+j a1jA1j = (-1)^1+1 a11A11+ ...+ (-1)^1+n a1nA1n gdzie Aij jest wyznacznikiem macierzy stopnia n=1, powstałej przez skreslenie i-tego wiersza i j-tej kolumny. Własności wyznacznika: 1) wyznacznik w którym jeden wiersz (kolumna) jest złożony z samych zer jest równy zero; 2) zamiana dwóch różnych wierszy (kolumn) zmienia znak wyznacznika na przeciwny; 3) jeśli dwa wiersze (dwie kolumny) w wyznaczniku są identyczne to wyznacznik ten jest równy zero; 4) wspólny czynnik danego wiersza (kolumny) można wyłączyć przed znak wyznacznika; 5) jeśli dwa wiersze (kolumny) są proporcjonalne to wyznacznik równa się zero; 6) wyznacznik nie zmieni się jeżeli do jednego wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez dowolną stałą. Minorem Aij macierzy kwadratowej A stopnia n≥2 nazywamy wyznacznik macierzy stopnia n=1 powstałej z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny. Dopełnieniem algebraicznym elementu aij macierzy kwadr A stopnia n≥2 nazywamy liczbę dij określoną wzorem: dij = (-1)^i+j Aij , gdzie Aij jest minorem macierzy A. Rozwinięcie LAPLACE'A: jeśli A macierzą kwadr stopnia n≥2 to: 1) przy ustalonym i ε {1,...,n} detA = Σ^nj=1aijdij = ai1di1+...+aindin (R.L. względem i-tego wiersza) ; 2) przy ustalonym j ε {1,...,n} detA = Σ^nj=1aijdij = a1jd1j+...+anjdnj (R.L. względem j-tej kolumny). Tw. CAUCHY'EGO: jeśli A,B ε Mnxn , nεIN to det(A·B) = detA · detB. Macierz nieosobliwa: macierz kwad jest nieosobliwa gdy detA≠0. Macierz odwrotna: jeśli dla danej macierzy kwadr A istnieje macierz kwadr B spełniająca równanie AB=BA=I , to tę (jedyną) macierz B nazywamy macierzą odwrotną do macierzy A i oznaczamy A^-1. Minor macierzy: minorem stopnia k macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy kwadr stopnia k powstałej z macierzy A przez skreślenie m-k wierszy oraz n-k kolumn. Rząd macierzy: nazywamy największy stopień jej niezerowego minora, oznaczamy rzA.	Funkcja pierwotna: niech f: (a,b)→IR, (-∞≤ a<b≤ ∞). Każdą funkcję F:(a,b) →IR różniczkowalną i spełniającą warunek F'(x)=f(x), xε(a,b) nazywamy fun pierwotną funkcji f na przedziale (a,b). Całka nieoznaczona: jeśli funkcja f:(a,b) →IR ma fun pierwotną, rodzinę wszystkich jej fun pierwotnych nazywamy całką nieozn i oznaczamy ∫f(x)dx, tzn. ∫f(x)dx = {F: (a,b) →IR: F jest różniczkowalna oraz F'=f}. [ ∫f(x)dx = F(x) + C ]. Tw. O różniczkowaniu całki: jeśli funkcja f:(a,b) →IR ma funkcję pierwotną to (∫f(x)dx)' = f(x), xε(a,b). Tw. O całkowaniu pochodnej: jeśli f':(a,b) →IR ma fun pierwotną to ∫f'(x)dx = f(x) + C, xε(a,b). Tw. O całkowaniu przez części: jeśli funkcje f,g: (a,b) →IR są różniczkowalne oraz funkcja f'g posiada fun pierwotną to fun fg' posiada fun pierwotną zachodzi wzór: ∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x)dx. Tw. O cał przez podstawianie: jeśli funkcja f:(a,b) →IR ma fun pierwotną F:(a,b) →IR, a funkcja φ: (α,β) →(a,b) jest różniczkowalna to funkcją pierwotną funkcji (f◦φ) jest funkcja F◦φ i zachodzi wzór: ∫f(φ(x))φ'(x)dx = ∫f(t)dt, gdzie t = φ(x). Funkcją wymierną f(x) = φ(x)/Q(x), Q(x)≠0 nazywamy właściwą gdy stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku. Funkcję wymierną która nie jest właściwa nazywamy niewymierną. Ułamki proste: fun wymierną właściwą w postaci A/(x-a)^n , gdzie A,a ε IR, n ε IN nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju; Fun wym postaci Bx+C/(x^2+px+q)^n ,gdzie n ε IN, B,C,p,q ε IR oraz Δ=p^2 - 4q <0 nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju. Tw. O rozkładzie fun wym na ułamki proste: każdą fun wym właściwą można przedstawić w postaci sumy ułamków prostych. Przedstawione to jest jednoznacznie. Dokładniej funkcja wym właściwa: jest sumą K1+K2+...+Kr ułamków prostych I rodzaju oraz l1+l2+...+ls ułamków prostych II rodzaju, przy czym: czynnikowi (x-ai)^Ki odpowiada suma ułamków prostych I rodzaju; czynnikowi (x^2+pjx+qj)^lj odpowiada suma ułamków II rodzaju. Podziałem przedziału [a,b] na n dowolnych części punktami x1,...,xn-1 ε (a,b) takimi że a= x0<x1<...<xn-1<xn=b nazywamy zbiór ∏= {P1,...,Pn}, gdzie Pi=[xi-1,xi], i=1,...,n. Średnicą podziału ∏ nazywamy liczbę δ określoną wzorem: δ= max{׀P1׀,...,׀Pn׀}, gdzie ׀P׀= ׀[xi-1, x׀= xi-xi-1, i=1,...,n. Suma dolna i górna: niech f:[a,b]→IR będzie fun ograniczoną. Niech ∏={P1,...,Pn} będziedowolnym podziałem przedziału [a,b]. Niech mi= inf {f(x): xεPi}, 1≤i≤n, Mi=sup {f(x): xεPi}, 1≤i≤n. Liczbę L= m1‌‌‌‌P1‌‌‌‌‌‌ +...+ mn ‌Pn‌ = Σ^ni=1 mi ‌Pi‌ nazywamy sumą dolną, a liczbę U = Mi ‌Pi‌ +...+ Mn ‌Pn‌ = Σ^ni=1 Mi ‌Pi‌ . Ciąg normalny podziałów: niech (∏n: n ε IN) będzie dowolnym ciągiem podziałów przedziału [a,b]. Niech δn oznacza średnicę podziału ∏n. Ciąg ∏n nazywamy ciągiem normalnym podziałów, gdy limn→∞ δn=0. niech Ln, Un oznaczają sumę dolną i górną podziału ∏n dla pewnej fun ograniczonej f:[a,b]→IR. Całka górna i dolna: jeśli (∏n: n ε IN) jest ciągiem normalnym podziałów, to granicę limn→∞Ln nazywamy całką dolną funkcji f w przedziale [a,b] i oznaczamy ∫f(x)dx , a granicę limn→∞Un nazywamy całką górną funkcji f w przedziale [a,b] i oznaczamy ∫f(x)dx. Całka oznaczona (Riemanna): mówimy, że funkcja f jest całkowana w sensie Riemanna (ma całkę oznaczoną) w przedziale [a,b]. Jeśli jej całka dolna jesat równa jej całce górnej. Wspólną wartość całki dolnej i górnej nazywamy całką oznaczoną z fun f w przedziale [a,b] i oznaczamy ∫f(x)dx. Tw. O liniowości całki oznaczonej: jeśli funkcje f,g:[a,b]→IR są całkowalne, to funkcje f+g, λf(λεIR) są całkowalne oraz ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx, ∫λf(x)dx = λ∫f(x)dx. Tw. O addytywności: jeśli funkcja f:[a,b]→IR jest całkowalna to dla dowolnego Cε(a,b) zachodzi równość: ∫f(x)dx = ∫f(x)dx + ∫f(x)dx. Tw. O całce z fun nieujemnej: jeśli fun f:[a,b]→IR jest całkowalna i nieujemna to ∫f(x)dx ≥0. Tw. O zachowaniu nierówności: jeśli fun f,g:[a,b]→IR są całkowalne oraz f(x)≤g(x) dla xε[a,b], to ∫f(x)dx ≤ ∫g(x)dx. Tw. O całkowaniu modułu: jeśli funkcja f:[a,b]→IR jest całkowalna, to ׀∫f(x)dx׀ ≤ ∫׀f(x)׀dx. Nierówność Schwerza: jeśli funkcje f,g:[a,b]→IR są całkowalne, to [ ∫f(x)g(x)dx]^2 ≤ ∫[f(x)]^2dx + ∫[g(x)]^2dx. Całkowanie fun parzystej: jeśli fun f:[-a,a]→IR jest całkowalna i parzysta, to ∫f(x)dx = 2∫f(x)dx. Całkowanie fun nieparzystych: jeśli fun f:[-a,a]→IR jest całkowalna i nieparzysta, to ∫f(x)dx = 0. Fun górnej granicy całkowania: niech f:[a,b]→IR będzie funkcją całkowalną. Funkcja F:[a,b]→IR określoną wzorem F(x)= ∫f(x)dx, xε[a,b] nazywamy fun górnej granicy całkowania.	Wniosek o funkcji pierwotnej funkcji ciągłej: każda funkcja ciągłaf:[a,b]→IR ma funkcję pierwotną, a więc także całkę nieoznaczoną w przedziale [a,b], jedną z funkcji pierwotnych funkcji f jest funkcja górnej granicy całkowania, tzn. F(x) = ∫f(t)dt, xε[a,b]. Wzór Newtona-Leibniza: jeśli funkcja f:[a,b]→IR jest ciągła, a funkcja F:[a,b]→IR jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f, to ∫f(x)dx = F(b) - F(a). Wartość średnia funkcji: jeśli funkcja f:[a,b]→IR jest ciągła to liczbę 1/(b-a) ∫f(x)dx nazywamy wartością śred fun f w przedziale [a,b]. Tw. O wartości średniej: jeślifunkcja f:[a,b]→IR jest ciągła to ( ∫f(x)dx = f( ). Całka niewłaściwa: 1) punkt a nazywamy osobliwym fun fa,b]→IR, -∞≤a<b<+∞, jeśli a=-∞ lub aεIR oraz limx→a+ ׀f(x)׀=+∞. Jeśli fun f jest całkowalna w każdym skończonym przedziale [α,β] istnieje skończona granica limα→a+ ∫f(x)dx, to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale (a,b] i piszemy: ∫ f(x)dx= limα→a+ ∫ f(x)dx. Jeśli granica ta nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa ∫ f(x)dx nie istnieje. 2) punkt b nazywamy punktem osobliwym fun f:[a,b)→IR, -∞ < a < b ≤ +∞, jeśli b= +∞ lub bεIR oraz limx→b- ׀f(x)׀=+∞. Jeśli fun f jest całkowalna w każdym skończonym przedziale [α,β] C[a,b) i istnieje skończona granica limβ→b- ∫f(x)dx, to granicę tę nazywamy całką niewłaściwa z fun f na przedziale [a,b) i piszemy ∫ f(x)dx = limβ→b- ∫ f(x)dx. Jeśli granica ta nie istnieje to mówimy, że całka niwłaściwa ∫ f(x)dx nie istnieje. 3) jeśli istnieje całka niewłaściwa ∫ f(x)dx to mówimy że całkata jest zbieżna. Tw. O zbieżności całek właściwych: niech b będzie punktem osobliwym fun f,g:[a,b)→IR oraz ׀f(x)׀ ≤ g(x) dla xε[a,b]. Jeśli istnieje całka ∫ g(x)dx, to istnieje całka ∫ f(x)dx i jest bezwzględnie zbieżna. Kryterium całkowe zbieżności szeregu: niech n0εIN oraz funkcja f:[n0,+∞) → [0,+∞) będzie ciągła i nierosnąca. Wówczas szereg Σ^∞n=n f(n) jest zbieżny [rozbieżny] wtedy, gdy całka niewłaściwa ∫^+∞ f(x)dx jest zbieżna [rozbieżna].
						Szereg trygon.: każdy szereg postaci ½ a0+ (a1cosx + b1sinx) + (a2cos2x + b2sin2x)+…= ½ an + Σ^∞n=1 (ancosnx + bnsinnx), gdzie x jest zmienną rzeczywistą oraz a0, a1, a2, b1, b2 są współczynnikami rzeczywistymi, nazywamy szeregiem trygonometrycznym w postaci normalnej. Wzory Eulera- Fouriera: jeśli szereg tryg. ½ ao + Σ^∞n=1 (ancosnx + bnsinnx) jest zbieżny jednostajnie do funkcji f:[-π,π], tzn. f(x) = ½ a0 + Σ^∞n=1 ancosnx + bnsinnx, to jego współczynniki wyrażają się wzorami: Szereg Fouriera: niech f:[-π,π]→IR będzie funkcją całkowalną. Szeregiem Fouriera fun f nazywamy szereg tryg o współczynnikach danych wzorami Eulera- Fouriera. Warunek Dirichleta: mówimy, że fun f:[a,b]→IR spełnia warunek Dirichleta, gdy: 1) fun jest ograniczona w [a,b]; 2) fun jest przedziałami ciągła i monotoniczna w [a,b]. Tzn. fun jest ciągła i monoton w [a,b] lub przedział [a,b] można podzielić na skończoną liczbę przedziałów, takich że wewnątrz każdego z nich fun f będzie ciągła i monot.
Przestrzeń trójwymiarowa: IR^3 = {(x,y,z): x,y,z εIR}. Przestrzeń n wymiarowa: IR^n = (x1,...,xn): x1...xnεIR Długość - norma wektora: jeśli ū = [x,y,z] to liczbę ׀׀x׀׀ = x^2 + y^2 + z^2 nazywamy długością wektora x. ׀׀x׀׀ - norma wektora x. Wektory równoległe: wektory u,v ε IR^3 są równoległe gdy istnieje α ε IR\{0} takie, że u=α · v. Wektory prostopadłe: wektory u,v są prostopadłe gdy ich iloczyn skalarny się zeruje (u◦v=0). Iloczyn skalarny: u◦v = ׀׀u׀׀ · ׀׀v׀׀ · cos<(u,v). Orientacja ukł wektorów: ukł wektorów u,v,w ma orientację zgodną [niezgodną] z orientacją ukł współrzędnych gdy: Iloczyn wektorowy: ilocz wektorowym uxv wektorów u,v ε IR^3 nazywamy wektor w: 1) prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez wektory u,v; 2) o zwrocie takim, że wektory u,v,w maja orientacje zgodna z orientacją ukł współ; 3) o długości ׀׀u׀׀ · ׀׀v׀׀ · ׀sin<(u,v)׀. Iloczyn mieszany: jeśli u,v,w ε IR^3, to: u (uxv)◦w = v (il mieszany) w Kulą otwartą w przestrzeni IR^n o środku w punkcie po ε IR^n i promieniu r>0 nazywamy zbiór: K(po,r) = {pεIR^n: ׀׀p-po׀׀< r}. Otoczeniem punktu pεIR^n nazywamy każdą kulę otwartą K(p,r), (r>0). Zbiór otwarty: zbiór AcIR^n nazywamy zbiorem otwartym, gdy: ۸ ۷ (K(p,r)cA). Zbiór domknięty: zbiór AcIR^n nazywamy zbiorem domkniętym, gdy jego dopełnienie A' = IR^n ׀ A jest zbiorem otwartym. Punkt brzegowy: jeśli w każdym otoczeniu K(p,r) (r>0) punktu pεIR^n istnieją punkty należące do zbioru AcIR^n oraz punkty należące do dopełnienia A' zbioru A, to punkt p nazywamy punktem brzegowym zbioru A. Zbiór punktów brzegowych nazywamy brzegiem zbioru A i oznaczamy Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu: niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu (xo,yo)εIR^2: 1) pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej x w punkcie (xo,yo) określamy wzorem: 2) pochodną cząstkową fun f względem zmiennej y w pkt (xo,yo) określamy wzorem: 3) macierz [f'x(xo,yo), f'y(xo,yo)] nazywamy pochodna funkcji (dwóch zmiennych) f w punkcie (xo,yo) i oznaczamy f'(xo,yo). Pochodne cząstkowe drugiego rzedu: niech funkcja f ma pochodne cząstkowe w otoczeniu punktu (xo,yo). Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w punkcie (xo,yo) określamy następująco: macierz f” xx(xo,yo) f” xy(xo,yo) f” yx(xo,yo) f” yy(xo,yo) nazywamy drugą pochodna funkcji dwóch zmiennych f w punkcie (xo,yo) i oznaczamy f” (xo,yo). Tw. Schwarza o pochodnych mieszanych: jeśli UεIR^2 jest zbiorem niepustym i otwartym, a funkcja f: U→IR ma w zbiorze U pochodne mieszane i są one ciągłe w punkcie (xo,yo), to zachodzi równość:	Ekstrema lokalne: niech DcIR^n będzie zbiorem niepustym. Mówimy, że funkcja f:D→IR ma w punkcie pεD minimum lokalne [maksimum] gdy istnieje otoczenie K(po,r) (r>0) punktu po takie że: ٨ (f(po)≤f(p)) [٨ (f(po)≥f(p))] Warunek konieczny istnienia ekstremum: jeśli UcIR^2 jest zbiorem niepustym otwartym, a funkcja f:U→IR ma w punkcie (xo,yo)εU ekstremum lokalne i f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie (xo,yo), f'x (xo,yo)=0 f'y (xo,yo)=0 tzn. f'(xo,yo) = [f'x (xo,yo), f'y (xo,yo)] = [0,0]. Warunek wystarczający istnienia ekstremum: załóżmy, że UcIR^2 jest zbiorem niepustym i orwartym (xo,yo)εU: 1) funkcja f:U→IR ma w pewnym otoczeniu punktu (xo,yo) ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego; 2) f'x (xo,yo)=0 f'y (xo,yo)=0 czyli: f'(xo,yo) = [f'x (xo,yo), f'y (xo,yo)] = [0,0]. Niech W(x,y) = det f”(xo,yo) = Wówczas, jeśli W(xo,yo)>0 to funkcja f ma w punkcie (xo,yo) ekstremum lokalne i jest to minimum gdy f”xx(xo,yo)>0, a maksimum gdy f”xx(xo,yo)<0. natomiast gdy W(xo,yo)<0 to funkcja f nie posiada ekstremum w punkcie (xo,yo). Obszary normalne względem osi układu: 1) zbiór DcIR^2 jest obszarem normalnym względem osi 0X , jeśli istnieją takie funkcje ciągłe g,h: [a,b]→IR, g(x)≤h(x), xε(a,b), że D={(x,y): a≤x≤b, g(x)≤y≤h(x)}. 2) zbiór BcIR^2 jest obszarem normalnym względem osi 0Y, jeśli istnieją takie funkcje ciągłe p,q: [c,d]→IR, p(y)≤q(y), yε(c,d), że B= {(x,y): p(y)≤x≤q(y), c≤y≤d}. Współrzędne biegunowe na płaszczyźnie: (Q,R) - współrzędne biegunowe na płaszczyźnie; ς - odległość punktu od początku układu współrzednych 0≤ς<+∞; φ - miara kąta między dodatnią częścią osi OX, a promieniem wodzącym punktu; 0≤φ<2π. Współrzędne biegunowe w całce podwójnej: niech: 1) obszar Δ we współrzędnych biegunowych będzie obszarem normalnym; 2) funkcja f będzie ciągła w obszarze D, który jest obszarem obszaru Δ przy przekształceniu biegunowym B, tzn B(D) = Δ. Wówczas: ∫∫ f(x,y)dxdy = ∫∫ f(Qcosφ, Qsinφ) ·QdQdφ. Pole obszaru DcIR^2 wyraża się wzorem: ׀D׀ = ∫∫dxdy. Objętość bryły wyraża się wzorem: ׀V׀ = ∫∫ (h(x,y) - g(x,y))dxdy. Pole płata powierzchniowego wyraża się wzorem: ׀S׀ = ∫∫ 1+[f'x(x,y)]^2 + [f'y(x,y)]^2 dxdy.	Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci: y'=f(x,y) Rozwiązanie równaina różniczkowego: funkcję y nazywamy rozwiązaniem r.r. y'=f(x,y) na przedziale (a,b) jeśli na tym przedziale jest ona różniczkowalna i zmienia to równanie na tożsamość: y'(x)= f(x,y(x)), xε(a,b). Wykres rozwiązania równania różniczkowego nazywamy krzywą całkową tego równania. Zagadnienie początkowe (Cauchyego): równanie różniczkowe y'=f(x,y) oraz warunek yo=y(xo) nazywamy zagadnieniem początkowym lub Cauchyego. Rozwiązanie zagadnienia początkowego: funkcję y nazywamy rozwiązaniem z.p. y'=f(x,y), y(xo)=yo, jeśli jest rozwiązaniem równania y'=f(x,y) na pewnym przedziale zawierającym punkt xo i spełnia warunek y(xo)=yo Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych: y'=g(x) h(y). Równanie różniczkowe jednorodne: y'f(y/x). Równanie różniczkowe jednorodne y'=f(y/x) przez zmianę zmiennych y=tx sprowadza się do równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych: t'x=f(t) - t. Równanie różniczkowe liniowe: y' + p(x)y = g(x) y' + p(x)y = 0 Rozwiązanie r.r. liniowego jednorodnego: jeśli p jest funkcją ciągłą w przedziale, to rozwiązanie równania różniczkowego liniowego jednorodnego y'+p(x)y=0 ma postać y=Ce^-∫p(x)dx , gzie C jest stałą. Rozwiązanie r.r.l. niejednorodnego: jeśli p,q są funkcjami ciągłymi na przedziale, to rozwiązanie równania różniczkowego liniowego niejednorodnego y'+p(x)y=q(x) ma postać y=exp(~∫p(x)dx) - ∫q(x)exp(∫p(x)dx)dx + (exp(-∫p(x)dx). Równanie różniczkowe zupełne: równanie różniczkowe y'= - , (x,y)εDcIR^2 lub P(x,y)dx + Q(x,y)dy =0, (x,y)εD nazywamy równaniem zupełnym różniczkowym, gdy istnieje funkcja 2 zmiennych F taka, że F'x (x,y)= P(x,y) F'y (x,y)= Q(x,y). Równanie różniczkowe P(x,y)dx + Q(x,y)dy=0 , (x,y)εD jest zupełne wtedy i tylko wtedy gdy P'y(x,y) = Q'x(x,y), (x,y)εD. Rozwiązanie równania zupełnego: jeśli równanie różniczkowe P(x,y)dx + Q(x,y)dy=0 (x,y)εD jest zupełne, to rozwiązanie tego równania można przedstawić w postaci F(x,y) = C , (x,y)εD, gdzie C jest dowolną stałą, a funkcja dwóch zmiennych F jest taka,że: F'x(x,y) = P(x,y) F'y(x,y) = Q(x,y)

---