Strona 1 z 2

Lista zadań o liczbach zespolonych

1. Obliczyć:

a)

(

) (

)

i

i

8

7

3

2

−

+

+

−

b)

(

) (

)

i

i

10

1

3

4

+

−

−

c)

(

)(

)

i

i

3

3

2

−

+

d)

i

i

4

5

3

2

+

−

e)

(

)

i

i

4

3

+

f)

( )

2

1 i

+

g)

( )

2

1 i

i

+

h)

i

−

1

2

i)

(

)(

)

i

i

i

+

−

−

+

1

3

1

3

j)

3

2

4

−

+

+

−

i

i

i

k)

( )

2

3

1

−

+

+

−

i

i

i

l)

i

i

i

i

3

2

2

3

1

1

−

+

+

−

+

2. Wykazać, że:

a)

2

1

2

1

z

z

z

z

=

⇒

=

b)

( )

z

z

C

z

=

∀

∈

c)

2

1

2

1

z

z

z

z

+

=

+

d)

2

1

2

1

z

z

z

z

⋅

=

⋅

e)

(

)

2

1

2

1

rez

rez

z

z

re

+

=

+

f)

z

z

z

⋅

=

2

3. Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiory punktów spełniających:

a)

2

≤

z

b)

1

≤

−

i

z

c)

(

)

2

3

4

〈

+

−

i

z

d)

imz

rez

=

e)

3

4

arg

0

≤

∧

≤

≤

z

z

π

f)

3

0

〈

〈 rez

g)

(

)

0

2

≥

+

iz

re

h)

2

1

≤

−

≤

i

z

4. Znaleźć

R

y

x

∈

,

spełniające równania:

a)

(

) (

)

i

i

y

i

x

7

8

2

5

3

2

+

−

=

−

+

+

b)

(

)(

)

i

i

x

yi

−

=

−

+

7

3

2

c)

1

3

2

1

−

=

−

+

i

i

x

yi

5. Następujące liczby zespolone przedstawić w postaci trygonometrycznej i wykładniczej:

i

i

i

i

i

i

+

−

−

+

−

+

−

3

;

8

;

3

;

;

1

;

2

1

2

3

;

3

1

;

1

Zapisać liczby sprzężone do tych liczb (w postaci algebraicznej trygonometrycznej i
wykładniczej).

6. Wykorzystując wzory na mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci

trygonometrycznej, obliczyć:

( )

(

)

i

i

i

i

−

+

+

−

1

2

2

;

3

1

.

7. Wykorzystując wzory na mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci wykładniczej,

wykonać działania:

(

)(

)

i

i

i

i

+

+

−

+

1

3

;

3

3

4

4

.

Strona 2 z 2

8. Stosując wzór Moivre’a wykonać potęgowanie:

a)

2

2

2

2

2















+

i

b)

(

)

8

1 i

+

−

c)

(

)

6

3

i

+

−

d)

(

)

5

3

1 i

−

e)

( )

4

1 i

+

f)

( )

6

1 i

−

g)

10

4

sin

4

cos













−

π

π

i

h)

14

7

sin

7

cos













+

−

π

π

i

9. Znaleźć wszystkie pierwiastki:

i

i

i

i

i

−

+

−

+

1

;

1

;

;

2

3

2

1

;

;

1

;

16

6

3

3

4

3

4

10. Następujące wyrażenia przedstawić za pomocą

x

sin i

x

cos

:

a)

x

3

cos

b)

x

6

sin

c)

x

5

cos

d)

x

4

sin

11. Rozwiązać równania:

a)

0

1

2

=

+

x

b)

0

3

2

2

=

+

+

x

x

c)

0

3

2

2

=

+

+

iz

z

d)

0

4

3

2

4

=

+

−

x

x

e)

( )

i

z

i

z

4

3

3

2

+

=

−

+

f)

i

z

i

z

+

=

+

g)

( )

i

z

z

z

z

2

3

+

=

−

+