018 (18)

5) p ^:‘V* = a

as R

6) Jeśli p e (0. I) u (1, +co), ₍/eR i /, ₆ r _lo: log_;i(« • />) = log// + log^/>

'og^f- = log,," log,,/>

log a‘ = t • log//. / e K log />

^l0g''^/’⁼ kw7^a’^/’’^/'^{>0 i;,it 1}'"* I

w/l

1

log /> = --//. h > 0 i </ * I i h * 1

log//    *

Definicja funkcji logarytmicznej

Funkcję j\x) log^.w x e R_. p e (0, 1) w (], +cc) nazywamy funkcją logarytmiczną o podstawie p

np.:/(.v) = log_rv,/(.v) = log,.v./(.v) - log.v Dwie ważne własności

(wykorzystywane np. przy rozwiązywaniu nierówności logarytmicznych)

1) Jeżeli p e (0, 1) to funkcja logarytmiczna/(.v) - log x jest malejąca, tzn. dla dowolnych .v,. .v, € R_

log/, > log/,,

np.:

9"

X 1

a) f(x) = log, .v, a* € R,

x — 1/(1) = logii =0

.v = 2/(2)=log,2 = -l

_Y = 4/(4) = logi 4 = -2

b) /(.v) - logiA\ a- e R

c) /(.v) = logi*, -V € R.

*T

5 4

30

Funkcja logarytmiczna

2) Jeżelip e (I, +x) to funkcja logarytmiczna/(.v) - log v jest rosnąca, t/n. dla dowolnych x_r ,v, e R

.v, <x₂ o log^.t, < log/₂, np.:

a)    /(.v) = Iog_rv, .v e R_>

.v= I /(l) = log_:l *0 .v = 2 /(2) - log,2 = 1 .v = 4 /(4) = log,4 = 2

b) /(.v) = logy\‘, X € R.    7

c) J\x) = log/,x € R.    I

* Y

UWAGA! _

Możesz się spotkać z następującymi oznaczeniami przy logarytmach:

Pamiętajmy, że ten zapis czytamy jako łogarytm

V = In .v to jest to samo CO V = log .V. .V > 0 naturalny z liaby dodatniej *

Uwaga: liczba e • 2,71828...

y = log a* to jest to samo co y = log_l(rv, x > 0

Ten łogarytm czytamy jako łogarytm dziesiętny z liczby dodatniej x.

RÓWNANIA LOGARYTMICZNE przykładowe zadania Pamiętaj o wyznaczeniu dziedziny dla każdego rozwiązywanego przez Ciebie zadania.

ZADANIE 1 log_Tv = 2

Założenia: X > 0    To wynika z definicji logarytmu.

Zatem dziedziną równania jest zbiór: (0. +»)

Rozwiązanie:

logyY = 2

.v = 4²

To wynika z definicji logarytmu log,*** *<=>*■ ft.

W tym zadaniu p = 4. a= x.x= 2.

.v= 16

31