027(1)

2) Podstawiając — — x = t, otrzymamy

Jim (~— x| cosec l~ rr-4-x| = limt cosec (n—t) = lim / _ — 1 ^4    ]    \ 4    / t-*o    ant

4

3) Podstawiając arcctgx = a mamy x = ctg a, przy czym a -> +0, gdyx ->■ -j-oo, a więc

lim xarcctgx = lim a ctg a = lim ~^0S-^-= lim cos a • lim-^— = 1 ^-►-foo    a->*-fO    sid cc    sin oc

4) Przyjmujemy arctg* = z; wtedy x = tgz oraz z -* — ^ , gdy x -► —co, skąd

71

lim .x | % -j- arc

tg.vj = lim^ |y +zj tg z = (y-fz)sinz

+z

— lim

cos z

= lim sin z • lim

cos z

= — 1 • lim

⁷¹ i

T+z

sin( 2" +*]

r = -1 • 1 = -1

Wyznaczyć granice: 81. lim.Tctg2x

x-~*Q

82. lim sin 2x ctg x

83. lim n sin —

n-*co    ^

84. lim 2"tg2-ⁿ

IV. Przypadek, gdy dla x -» a lub x -* cc funkcja f(x) staje się różnicą dwóch nieskończenie wielkich wielkości dodatnich (przypadek co--co).

Ten przypadek wyznaczania granicy można sprowadzić do przypadku -jj

lub ^ przez odpowiednie przekształcenie funkcji, sprowadzające ją do

postaci ułamka.

85. Wyznaczyć granice: 1) lim(—2) lim (*-) .\r ₁ 5x)

x-y‘i \x 2 X 4/    * -*-+

3) lim (/tg² a+sec a—tga) 4) lim (2 cosec 2x—ctg x)

Rozwiązanie. Analizując warunki zadania, stwierdzamy, że przy podanym przebiegu argumentu, dana funkcja staje się różnicą dwóch nieskończenie wielkich wielkości dodatnich (przypadek co — oo). Następnie sprowadzamy daną funkcję do postaci ułamka, którego licznik i mianownik dążą równocześnie albo do zera, albo do nieskończoności. Tym samym przypadek znajdowania granicy funkcji co—oo sprowadzamy do przypadku

£ iub

0 00

1) Odejmujemy ułamki i otrzymany ułamek skracamy przez x—2; wtedy

lim

2

1    4 \    x-2    1    1

x—2    x²—4

x-\-2

, I = Jim -5—7 = lim——— — —

2) Rozpatrując daną funkcję jako ułamek o mianowniku równym jedności, pozbywamy się niewymierności w liczniku, a następnie dzielimy licznik i mianownik ułamka przez x; mamy

lim fr-i/gTS) - lim (* l *^r"^)(x-l

.X->+ CO

= lim

jc+) +²+5.v -5    5

_5_

2

= lim

1 + 1

! + ] 1 + “

3) Podobnie jak w poprzednim przykładzie przenosimy niewymierność do mianownika, a następnie mnożymy licznik i mianownik przez cos a; znajdujemy

sec a

x^Jr\^/ x?-\-5x

¹*^mn (i/tg²a+seca—tga) = lim —==

^a_v‘2'~0    i ta²

1

— lim

| tg-a+ seca+tga 1 1

j sin²a+cosa+sina 1 + 1    2

4) Przekształcamy tożsamościowo funkcję, doprowadzając ją do postaci ułamka, a następnie ułamek ten skracamy przez sin*; mamy

lim (2cosec2.v —ctgx) = lim ( . — ~ °. ^S- ) ~ ^v    \sin2j sinr/

..    2—2 cos²x .. sin²x _r . _n

hm —------- = lim    = hm tgx — O

2 sin x cos x

sin x cos x

53