10 (16)

167

Funkcja gamma

gdzie

. j_s\    f^exPC—s²^i(s\/27x)3    (~y/x/2 < s < co),

lo    (s < —yJx/2).

Zaobserwujmy następujące własności ^_x(s):

a)    Przy dowolnym s ij/_x(s)-*e~^s\ kiedy x-+oo.

b)    Zbieżność w a) jest jednostajna na <—A, A) dla dowolnego A < oo.

c)    0 < \J/J(s) < e~^a* dla s < 0.

d)    0 < ^_x(s) < t^i(s) dla s > 0 i x > 1.

00

e)    j (s)ds < oo. o

Twierdzenie o zbieżności sformułowane w zadaniu 12 z rozdziału 7 może być więc stosowane do całki (107) i pokazuje, że całka ta jest przy x~* oo zbieżna do yjn, na mocy (101). To dowodzi (103).

Pełniejsze przedstawienie tego dowodu można znaleźć w książce R. C. Bucka: Advanced Calculus na str. 216-218. Dwa inne, całkowicie różne od przytoczonego, dowody można znaleźć w artykule W. Fellera w Amer. Math. Monthly, vol. 74, 1967, str. 1223—1225 (z poprawkami w vol. 75,1968, str. 518), a także w książce Artina, str. 20— 24.

Zadanie 20 dostarcza prostszego dowodu mniej dokładnego przybliżenia.

ksymującym

stać

y argument

Zadania

1. Niech

/(*)*

e-i/**    dla x # 0,

0    dla x = 0.

Pokazać, że/ posiada pochodne wszystkich rzędów w punkcie x = 0 oraz że/⁽">(0) = 0 przy n m 1,2,3, i Niech a_u oznacza liczbę występującą w i-tym wierszu i /-tej kolumnie macierzy:

'-1	0	0	0 ..."
1/2	-1	0	0 ...	r
1/4	1/2	-1	0 ...
1/8	1/4	1/2	-1...	l

0

2^J-‘

dla i < j, dla i = j, dla i > j.

Udowodnić, że Y,Y.^a‘l ~ ~2,    = 0.

i J    J i

3. Udowodnić, żejeślidy > Odia dowolnych i J, to    Nie wykluczamy przypadku+ oo= +co.

•’ i i i

4.    Udowodnić następujące równości

b*— i    ' .. log(l+x)

a) lim-- logó (6 > 0); b) hm-*> 1;

c) lim(l+x)^l,**» e;

x-0

5. Znaleźć granice _s , e-(l+x)¹'*

d)

o-b\ n/

e*.