10 (14)

165

Funkcja gamma

Z (94) mamy f>(n+1) = log(»!). Rozpatrzmy ilorazy różnicowe na przedziałach <n, n+1), <n+ l,n+l+x)» <»+1,    wypukłości ę wynika, że

i .. f(«+lłx)~p(ii+l) ,    .    ...

logu <    _x ^y < log(n+l).

Stosując ponownie (94), otrzymujemy

?(n+l+x) = ę>(x)+log[x(x+ l)...(x+n)].

Zatem ostatnie z powyższych wyrażeń dąży do zera przy n-* oo. Zatem <p(x) jest jednoznacznie określona i dowód jest zakończony.

Przy okazji wyprowadziliśmy równość

Ł1    d -    ii jjjtń*

(95)    Mśm

n-«x(x+l)„.(x+7l)

zachodzącą dla 0 < x < 1. Ponieważ jednak f(x+1) = xr(x), więc z postaci (95) wynika, że ten sam wzór obowiązuje dla dowolnego x > 0.

8.20.    Twierdzenie. Jeżeli x > 0 oraz y > 0, to

"^ł V' • i

Całka powyższa definiuje t^w. funkcję beta B(x, y).

Dowód. Zauważmy, że J8(l^^»#y, że logfi(*, y) jest przy kkżdym ustalonym y furileją wypukłą x, na mocy nierówności Hóldera, podobnie jak w twierdzeniu 8.18 oraz że

(97)    J(x+l_?y)_;=-J-fl(x₎y),_!

X~r y

Aby wykazać (97) przeprowadzimy całkowanie przez części we wzorze

i

P(x+l,yj i!    'dt.

o

Mając te trzy własności, pokazujemy, że funkcja/($) = ~^^B(Xj y) posiada własności wymienione w twierdzeniu 8.19. Zatem/(x) = f(x).

8.21.    Pewne WNIOSKI. Podstawiając t = sin²0, przekształcamy (96) do postaci