10 (34)

185

Różniczkowanie

(41)

I(Djf) (y)-(Djf) (*)| < J (yeS, 1    < „).

Załóżmy, że h = Tfyej, IN < r, v₀ = 0 i v* = (iie^ ... + h_ką dla 1 < k < n. Wtedy

Ił

(42)

/(x+h)-/(x) = £ [/(x+v_J)-/(x+v_y.,)].

Ponieważ |v_k| < r dla 1 < k < n i S jest zbiorem wypukłym, więc przedziały o końcach x+vj-1 i x+Vj- leżą w S. Ponieważ tu = v,-_ _t+hjĘd ^w*?^{c na} mocy twierdzenia 5.10 o wartości średniej, j-ta składowa we wzorze (42) jest równa hj(Djf) (x+y_J._l+0jhfi_j) dla pewnego 0j€ (0,1) i różni się od hj(Djf) (x) mniej niż o \hj\e/n (na mocy (41)). Z (42) wynika, że

|/(x+h)-/(x)- £ hj(Djf) (x)|    \hj\e < |h|e

dla wszystkich h takich, że |h| < r.

Oznacza to, że / jest różniczkowalna w punkcie x i że /'(x) jest funkcją liniową, która przyporządkowuje liczbę £/tj(Dj/)(x) wektorowi h =    Macierz [/'(x)] składa się

z wierszy (U,/) (x),... ,(D„/) (x) i ponieważ D_lf,..., D„f są funkcjami ciągłymi na E, więc, jak wynika z końcowej uwagi p. 9.9, /e #'(£).

Zasada odwzorowań zwężających

Przerwiemy na moment naszą dyskusję różniczkowalności, aby dołączyć twierdzenie o punkcie stałym, które zachodzi w dowolnej zupełnej przestrzeni metrycznej. Zastosujemy je w dowodzie twierdzenia o funkcji odwrotnej.

9.22. Definicja. Niech X będzie przestrzenią metryczną, z metryką d. Jeżeli q> jest odwzorowaniem X -w X, dla którego istnieje liczba c < 1 taka, że dla dowolnych x, yeX

(43)

d(<p(x), <p(y)) < cd(x, y),

to <p nazywamy odwzorowaniem zwężającym (kontrakcją) na X.

9.23. TWIERDZENIE. Jeśli X jest zupełną przestrzenią metryczną, a <p jest kontrakcją na X, to istnieje dokładnie jeden xeX, taki, że ^(x) = x.

Innymi słowy, odwzorowanie <p posiada dokładnie jeden punkt stały. Jedyność takiego punktu jest oczywista, bo jeśli <p(x) = x i <p( v) — y, to z (43) wynika, że d(x,y) < cd(x,y), skąd d{x,y) = 0.

Istnienie punktu stałego jest główną częścią twierdzenia. Dowód podaje w istocie efektywną metodę jego konstrukcji.

Dowód. Wybierzmy dowolny punkt x₀eX, i określmy {x„} rekurencyjnie, przyjmując

(44)

x„+i = <f‘(x_n) (n = 0,1,2,...).