17356 str279

8 2. PODSTAWOWE DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE 279

8 2. PODSTAWOWE DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE 279

Obecnie zmieniamy oznaczenia wskaźników sumacyjnych i stąd mamy

dH'r	dH's	dHk	dx^m dx^k dHm	dx^k	dx^m
dx^,s	dx'^r	dx^m	8x'^s dx" 8x^k	dx"	dx'^s
		(dHk	dHm\8x^m dx^k
		Ux^m	dx^k)dx'^s dx"	9

co oznacza zgodnie ze wzorem (1.9), że wielkość (1) jest tensorem kowariantnym rzędu drugiego. Tensor ten ponadto ma następującą własność:

dHr	dH}	(SHs	dHr
dx^s	dx^r	\dx^r	8x^s

co oznacza, że jest on tensorem anty symetryczny ni.

Zadanie 2.4. Współrzędne x^r i x'^r w dwóch układach są związane ze sobą zależnościami

(1)    x" = C„x^s,

gdzie współczynniki C_rs są stałymi, spełniającymi relację

(2)    C_mrC_ms = ^.

Symbol ó' jest deltą Kroneckera. Wyprowadzić wzory określające składowe wektora kon-trawariantnego A^k oraz wektora kowariantnego B_k w układzie współrzędnych x'^r w zależności od składowych tych wektorów w układzie x^r.

Rozwiązanie. Korzystając z zależności (1) i (2) piszemy

C_rkx'^r = C_rtC„x⁵ = 5^kx^s = x^k

i stąd mamy

(3)    x^r = C„*'\

Różniczkując wyrażenia (1) i (3) otrzymujemy zależności

8x"	8x'
_ 8x^s‘~ ^r”

(4)

Zgodnie ze wzorami (1.7) i (1.10) możemy napisać

8x'^m

A'^m = A

'dx^k

dx^k

cx

a stąd po uwzględnieniu (4) mamy

(5)    A‘^m = C_mkA^k, B'_m = C_mkB_k .

Jak widać z równości (5) przy założeniach (1) i (2) wektory kontrawariantne i kowa-riantne mają jednakowe wzory transformacyjne.

Zadanie 2.5. Wyznaczyć wartość, jaką otrzymamy w przestrzeni N-wymiarowej w wyniku następującej operacji zwężania delt Kroneckera