8 2. PODSTAWOWE DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE 279
8 2. PODSTAWOWE DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE 279
Obecnie zmieniamy oznaczenia wskaźników sumacyjnych i stąd mamy
dH'r |
dH's |
dHk |
dxm dxk dHm |
dxk |
dxm |
dx,s |
dx'r |
dxm |
8x's dx" 8xk |
dx" |
dx's |
(dHk |
dHm\8xm dxk | ||||
Uxm |
dxk)dx's dx" |
9 |
co oznacza zgodnie ze wzorem (1.9), że wielkość (1) jest tensorem kowariantnym rzędu drugiego. Tensor ten ponadto ma następującą własność:
dHr |
dH} |
(SHs |
dHr |
dxs |
dxr |
\dxr |
8xs |
co oznacza, że jest on tensorem anty symetryczny ni.
Zadanie 2.4. Współrzędne xr i x'r w dwóch układach są związane ze sobą zależnościami
(1) x" = C„xs,
gdzie współczynniki Crs są stałymi, spełniającymi relację
(2) CmrCms = ^.
Symbol ó' jest deltą Kroneckera. Wyprowadzić wzory określające składowe wektora kon-trawariantnego Ak oraz wektora kowariantnego Bk w układzie współrzędnych x'r w zależności od składowych tych wektorów w układzie xr.
Rozwiązanie. Korzystając z zależności (1) i (2) piszemy
Crkx'r = CrtC„x5 = 5kxs = xk
i stąd mamy
(3) xr = C„*'\
Różniczkując wyrażenia (1) i (3) otrzymujemy zależności
8x" |
8x' |
_ 8xs‘~ r” |
Zgodnie ze wzorami (1.7) i (1.10) możemy napisać
8x'm
A'm = A
'dxk
dxk
cx
a stąd po uwzględnieniu (4) mamy
(5) A‘m = CmkAk, B'm = CmkBk .
Jak widać z równości (5) przy założeniach (1) i (2) wektory kontrawariantne i kowa-riantne mają jednakowe wzory transformacyjne.
Zadanie 2.5. Wyznaczyć wartość, jaką otrzymamy w przestrzeni N-wymiarowej w wyniku następującej operacji zwężania delt Kroneckera