17641 str141 (4)

ROZDZIAŁ 3

Przekształcenie Laplace’a i jego pewne zastosowania

§ 1. Przekształcenie Laplace’a i jego podstawowe własności

♦

Definicja 1. Funkcję zespoloną f(t) zmiennej rzeczywistej t nazywamy oryginałem, jeżeli spełnione są trzy następujące warunki:

1° f(t) jest wraz z pierwszą pochodną/'(/) przedziałami ciągła dla 0</<oo (tzn. /(/) i /'(/) mają w każdym skończonym przedziale co najwyżej skończoną ilość punktów nieciągłości rodzaju pierwszego);

2°/(0 = 0 dla —oo<r<0;

3° /(O jest funkcją rzędu wykładniczego o wskaźniku ż₀> tzn. istnieją takie dwie stale /_o>0 i M>0, że dla każdego t spełniona jest nierówność

(1.1)    1/(01 <Me^v.

Definicja 2. Przekształceniem albo transformacją Lapłace'a nazywamy takie przekształcenie, które każdemu oryginałowi—funkcji f(t) przyporządkowuje funkcję zespoloną <!>(s) zmiennej zespolonej s według wzoru

(1.2)    4>(s) = ]    ,

o

gdźie s = X+ico.

Uwaga. Jeżeli /(O jest oryginałem o wskaźniku X₀, to całka po prawej stronie wzoru (1.2) jest bezwzględnie zbieżna w półpłaszczyźnie Res = X>X₀.

Funkcję cP(s) określoną wzorem (1.2) nazywamy również obrazem funkcji f(t). Przekształcenie dokonane na funkcji f(t) za pomocą całki (1.2) oznaczamy krótko przez Hf). Mamy więc

(1.3)    *(s) = ? f(f)e-«dt ^ L[/(0] = L(/).

o

Własność 1. Transformata Lapłace'a, czyli funkcja 4>(s) określona wzorem (1.2) jest funkcją zmiennej zespolonej s, holomorficzną w półpłaszczyźnie Res = X > X₀, gdzie X₀ jest wskaźnikiem wzrostu funkcji f(t) (rys. 3.1;.