1
2

2.2.2. Wykreślna analogia metody zrównoważenia węzłów - metoda Cremony

Metoda Cremony polega na wyznaczeniu sił wewnętrznych w prętach kratownicowych przy wykorzystaniu wykreślnej interpretacji metody zrównoważenia węzłów.

Idea metody została podana przez Maxwella [2] natomiast jej szczegółowe opracowanie jest zasługą Cremony. Dlatego tok postępowania przy rozwiązywaniu kratownic metodą graficzną nazywa się wyznaczeniem planu sił Cremony. Metoda wykorzystuje wykreślny warunek równowagi statycznej węzłowych sił wewnętrznych i skupionego obciążenia zewnętrznego działającego na węzły kratownicowe,

Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi płaskiego środkowego układu sił jest, aby wektor główny układu stanowiący wypadkową sił układu był równy zero. Innymi słowy, wielobok układu sił działających na węzeł kratownicy musi być zamknięty, aby układ sił działających na węzeł był w równowadze, co graficznie ilustruje rysunek 2.13.

Przedstawiona metoda wykreślnego określenia sił wewnętrznych osobno dla każdego węzła została w sposób istotny uproszczona przez Cremonę w strefowym opisie sił wprowadzonym przez Bowa [22],

	Siły w węźle	Wielobok sił
Węzeł A	S^FAC ^a<T‘—~^fad R	^fad
Węzeł D	Fnc ^F°i I tr	FqC	^1 F t FOA	P
Węzeł C	F/K. ^hCA 2 F CD		■/£
Węzeł B	■+£bc Fb d*-?^fl R	Fa o

a)    c)

Rys. 2.13. Schemat kratownicy (a); schemat oddziaływania układu węzeł - pręt - węzeł (b); wieloboki sił działających na węzły (c)

Osie prętów oraz kierunki sił zewnętrznych dzielą płaszczyzną na szereg pól bądź to zamkniętych wewnątrz kratownicy, bądź też otwartych położonych na zewnątrz jej obwodu, przy czym każdy punkt płaszczyzny nie leżący na osi pręta lub na kierunku siły należy do jednego i tylko jednego pola. Jeżeli pola te zostaną oznaczone cyframi tak jak na rysunku 2.13a, to każda siła zewnętrzna i każda siłą wewnętrzna w pręcie mogą być jednoznacznie zidentyfikowane przy zastosowaniu indeksów tych dwóch pól, które sobą rozgranicza. Wracając do rysunku 2.13a, reakcja R_A rozgraniczająca pola zewnętrzne 3—4 zostanie identyfikowana przez 3—4, siła P przez 2-3, siła w słupku 5—6, siły w krzyżulcach 4-5 i 6-1, siły w pasie dolnym 3-5 i 2-6. Omawianym polom odpowiadają wierzchołki wieloboku Cremony, co ma tę zaletę, że cyframi rozgraniczenia pó! oznaczone są początki i końce wektorów sił, co ułatwia ich identyfikacją.

Metoda Cremony raa tę właściwość, że wielobok stanowiący schemat kratownicy z jednej strony i plan Cremony z drugiej strony są ze sobą związane w ten sposób, że wierzchołkowi wieloboku odpowiada bok (pręt) kratownicy i na odwrót.

Przebieg postępowania przy sporządzeniu planu jest następujący:

1.    przyjęcie schematu obliczeniowego kratownicy (rys. 2.14a);

2.    wyznaczenie składowych reakcji podporowych kratownicy;

3.    przyjęcie strefowej identyfikacji sił zewnętrznych i wewnętrznych (rys. 2.14a);

4.    przyjęcie jednego kierunku obiegu sił w poszczególnych węzłach kratownicy, co stanowi warunek umożliwiający rozwiązanie zadania (rys. 2.14a);

5.    przyjęcie podziałki wartości sił obciążających kratę, a następnie wykonanie planu sił Cremony (rys. 2.14b);

6.    właściwa (wynikająca z planu sił Cremony) identyfikacja zwrotów sił wewnętrznych działających w prętach kratownicy (rys. 2.14c);

7.    tabelaryczne zestawienie wartości sił otrzymanych z planu Cremony (tab. 2.1).

Omówienie metody Cremony odniesiono do przykładu zamieszczonego na rysunku 2.14. Składowe reakcje podpór kratownicy mogą być wyznaczone wykreślnie. Wskazane jest jednak analityczne ich obliczenie, aby nie obarczać dodatkową niedokładnością wieloboku sił zewnętrznych, który stanowi szkielet planu Cremony.

= R_Av -2 + P_x -0,5 - P₂ -1,5 - P₃ ■ 0,5 = 0,

=1(5.1,5 + 10.0,5-5-0,5) = 5 kN,

= - R_e • 2 + P₃ ■ 1,5 + P₂ -0,5 + P_{ ■ 0,5 = 0,

R_e = | (10-1,5+ 5-0,5+ 5-0,5) = 10 kN,

Z ^pix ~ ~ ^rah +

^rah =5kN.

25