19

AB    CD    AB    CD

Rys. 3.2. Czteroprętowa konstrukcja z węzłami przegubowymi

Przedstawiona na rysunku 3.2 konstrukcja prętowa jest strukturą dwukrotnie statycznie niewyznaczalną, stanowiącą układ środkowych sił z czterema niewiadomymi siłami reakcji i dwoma równaniami równowagi statycznej. W modelu Naviera przyjęto jako niewiadome nadliczbowe przemieszczenie poziome i pionowe przegubu E, a następnie wyrażono odkształcenie czterech prętów w funkcji dwóch niewiadomych przemieszczeń. Z kolei siły osiowe występujące w prętach wyrażono w funkcji ich odkształcenia.

Następnie wykorzystano dwa równania równowagi układu środkowego sił z początkiem w przegubie E dla określenia wartości osiowych sił wewnętrznych w prętach w funkcji obciążenia zewnętrznego przyłożonego w tym punkcie. Analizując model obliczeniowy Naviera, Timoszenko Stwierdził, że podział na konstrukcje statycznie wyznaczalne i niewyznaczalne nie jest istotny. Tak samo będzie bowiem rozwiązana konstrukcja statycznie wyznaczalna, jak i statycznie niewyznaczalna. Metodą przemieszczeń w ujęciu macierzowym zastosowaną do rozwiązywania konstrukcji kratownicowych rozwinął C.K. Wang w ujęciu przedstawionym poniżej [30].

Stopnie swobody, ilość niezależnych niewiadomych sił,

stopień statycznej niewyznaczalności konstrukcji kratowych

Siły obciążenia zewnętrznego będą wyrażone w kolumnie macierzy, w której liczba wierszy jest równa liczbie stopni swobody. Przyjęto oznaczenia P-_t - siły obciążenia węzłowego, X_i - przemieszczenia liniowe węzłów. Rozwiązaniem kratownicy jest określenie sił wewnętrznych osiowych w prętach kraty oraz reakcji podporowych (rys. 3.3a).

Siły obciążenia zewnętrznego składają się zarówno z sił zewnętrznych czynnych i oznaczone są symbolami^- - X,) (ilość możliwych sił zewnętrznych działających w węzłach (Pj) kraty równa jest ilości możliwych przemieszczeń węzłów (X_ij). Znając siły w prętach reakcje więzów określone zostaną z równań równowagi statycznej.

Stopień statycznej niewyznaczalności kratownicy (NI) wyraża wzór

(3-1)

Nl = NF—NP

gdzie:

NP

NF ■■ NX

ilość niewiadomych sił w prętach kraty,

ilość możliwych sił zewnętrznego obciążenia (ilość możliwych przemieszczeń liniowych węzłów kraty).

b)

Rys. 3.3. Opis konstrukcji kratownicowej

Całkowita ilość niewiadomych sił w kratownicy jest równa NF + NR, gdzie NR jest ilością reakcji węzłów. Całkowita ilość równań równowagi statycznej dla wszystkich węzłów równa jest Z(NJ), gdzie NJ jest ilością węzłów. Stąd

NI = NF + NR - Z(NJ), lecz z drugiej strony Z(NJ) = NP + NR, stąd

NI = NF - NP    (3.2)

Niewiadome siły w prętach wywołują ich odpowiednie odkształcenie w prętach (e), dlatego konsekwentnie na rysunku 3.3b zaznaczono je symbolami (F_i - e_t).

Macierz przemieszczeń [5]

Macierz przemieszczeń wyraża odkształcenia prętów w funkcji przemieszczeń węzłów. Wymiar macierzy NF * NP.

{e} = {B]{X\    (3.3)

Na rysunku 3.4a przedstawiono przemieszczenie poziome węzła A przez Xj i pionowe przez x₂ oraz odpowiednio przemieszczenie węzła B przez jc₃ i x₄.

59