21124 skanuj0021

476 III. Rachunek całkowy

476 III. Rachunek całkowy

412.

. f tgⁿaxdx = ——rr-tRⁿ~¹ax— f tgⁿ~²axdx,    n > 3.

J    a\n— 1)    J

r _J ax³ a³x⁵    2a⁵x⁷    17a⁷x° ,

+-«8P

+ •

+ .

, 2²ⁿ(2²ⁿ -1) B_n a²»-¹a:²»+¹ (2«+l)! .

⁺w

+

22n(2²» — 1) Bn{ax)ⁱⁿ~'^L

(2n—1) (2«)!

415

416

■/

■I

cos^a*

dx

a(«+l)

, = + — x + -^-Inlsintwc+cosa#]. tgax±l 2 ⁿ2a

417

1

1

f tga* .    * m * , . .

. I ---r ax = —    ln sin a# ± cos a* .

J tgax±l 2    2a

Całki zawierające ctg a*, gdzie 0

418.	f’ ctg axdx -	- — ln Isina*! a	•
419.	fctg^2 axdx --	ctgax
		a	K •
420.	j ctg^3axdx ■-	= — ~ ctg^2 a*—— ln Isin 2 a a		ax |.
421.	f ctg^naxdx ■-	1	ctg”^-1 a*—|	f ctg^B-2a*dXj w >
		a(n-l)
422.	f x ctg axdx	x ax^3	a^3x^B	2^2nBn a^2n_1*^2n+1
		a 9	225	(2n+l)!
423.	> X	=
	1	ax (ax)^3	2(ax)^5	2^2«B„(a*)^2n-^1
	ax	3 135	4725	' (2n— 1) (2n)\

(^Ł) B„ są to liczby Bernoulliego (patrz str. 382).

424. I Ifefe dx —--¹ ctgⁿ⁺¹ax, n # — 1.

J sin*ax    a(n+l)

425. f —*--f

J 1 ±ctga* J

(patrz 417).

f tgax tg<wc±i

Całki innych funkcji przestępnych

Całki funkcji h i p e r b o 1 i c z n y c h W całkach 426 - 446 zakładamy, że a^O.

426.    f sinh axdx = — coshax.

J    a

427.    f coshajcd* = — sinh ax.

^J    a

r .    1    1

428.    sinh²axax = — sinh a* cosh a*— — x.

J    2a    2

r    i    1

429.    J cosh²axdx —    — sinhaxcośhaxĄ- — x.

430.    f sinhⁿaxdx =    — sinh^n-1a*cosha*— -—- f sinhⁿ~^taxdx,

->    an    n J

n > 0,

1

a(n+1)

sinhⁿ⁺¹ axcoshax — Ipil I sinh^B+2axdx, n+1 J

n< 0, w# —1.

431. f coshⁿaxdx = — sinhaxcoshⁿ'¹ax+ -—- f coshⁿ~*axdx,

J    an    n J

n> 0,

m--z—^    sinhaxcoshⁿ⁺¹ ax + ”~|~y f coshⁿ⁺ⁱaxdx,

a(n+1)    n+\J

n < 0, n # — 1.

•IY2

dx 1 - = —ln

sinhax a 2

1

tghyO*

433.    f- *

r • i    i

434. I *sinhaxi*; = •—x cosh a#--fe sinh a*.

^J    a    ar

,    =—arc tg e?^x.

cosh a* a

II — Matematyka cz. II