26144 scan 5 (6)

2. ELEKTROSTATYKA

Tak więc

f 4Ttó³(r — r')p(r') dr'= —p(r).    (2.16)

J    €₀

Jest to prawo Gaussa w postaci różniczkowej (2.14). Aby uzyskać postać całkową (2.13) tego prawa, musimy przeprowadzić poprzednie rozumowanie w odwrotnej kolejności — scałkować po objętości i zastosować twierdzenie o dywergencji:

f VEdr = (/)Eda = — [ póz — — 0_WCW.

J    J    eo J *o

V • E =

Anei

2.2.3. Zastosowania prawa Gaussa

W tym miejscu chciałbym przerwać dyskusję teoretyczną, aby pokazać niezwykłą użyteczność prawa Gaussa w postaci całkowej, które pozwala łatwo otrzymać bardzo mocne wyniki. W przypadku gdy problem ma jakąś symetrię, posłużenie się tym prawem to najszybszy i najłatwiejszy sposób na wyznaczenie pól elektrycznych. Zilustrujemy tę metodę szeregiem przykładów.

Przykład 2.2

Znaleźć pole na zewnątrz jednorodnie naładowanej kuli o promieniu R i całkowitym ładunku q.

Rozwiązanie: Narysujmy sferę o promieniu r > R (rys. 2.18), nazywaną „powierzchnią Gaussa”. Prawo Gaussa głosi, iż dla tej powierzchni (tak jak dla jakiejkolwiek innej)

1

E • da = — 0_WCW

i <2wcw = <]■ Na pierwszy rzut oka nie zyskujemy w ten sposób zbyt wiele, ponieważ poszukiwana przez nas wielkość (E) występuje pod znakiem całki powierzchniowej. Na szczęście