26902 skrypt026

3 itozozmi o. riouco uj ULJJ\U

Interpretacja

Ze wzoru (3.19) wynika, że sygnał ciągły można otrzymać na podstawie /skrętnego sygnału spróbkowanego w wyniku superpozycji funkcji postaci

sin x

1

X

tcSre są poprzesuwane o wielokrotności okresu próbkowania T_s i ważone rzez wartości kolejnych próbek sygnału (rys. 3.10). Słuszność wzoru (3.19)

■ chwilach próbkowania jest oczywista. Istotnie, w każdej chwili próbkowa ia wszystkie funkcje s\nx/x są równe zeru z wyjątkiem jednej, która jest rzesunięta do tego właśnie punktu na osi czasu i przyjmuje w nim wartość , co, po uwzględnieniu wagi równej wartości odpowiedniej próbki, jest, przy ałożeniu idealnego próbkowania, wartością sygnału ciągłego w tej chwili. Vykazanie słuszności wzoru (3.19) w pozostałych chwilach czasu wymaga adnak bardziej skomplikowanego dowodu, który jest podany poniżej.

Dowód

Z wyrażenia (3.18) wynika, że widmo sygnału ciągłego może być odtwo-zone z widma sygnału dyskretnego za pomocą idealnego filtru dolnoprzt-nistowego o charakterystyce G(ju>) określonej jako

(3.20;

T_s dla |o;| ^ uj_g 0    dla M > u)_g

Widmo sygnału na wyjściu filtru dolnoprzepustowego jest równe

X(jcu) = XV^wr,)G(j^)

po uwzględnieniu wzoru (3.13) można je zapisać w postaci

OO

*(jw)= E **{nT,)G(ju)e~^iunT‘.    (3.21)

n= — co

Sygnał x{t) uzyskamy na podstawie wyrażenia (3.21) za pomocą odwrotnego przekształcenia Fouriera

x(t)

_1_

2n

E x*(nT_s)G(ju:)e-^^nTse^iujtdu.

Po zmianie kolejności całkowania i sumowania oraz uwzględnieniu charakterystyki filtru uzyskuje się

1    °°    rw_g

x{t)=— E ^x*(^nT')    r,e^j“(*-^nT*)dw.

^2?r n=-co

Po obliczeniu całki otrzymuje się wzór (3.19), co kończy dowód twierdzenia.

Rys. 3.11. Widmo amplitudowe sygnału pasmowego

3.6, Próbkowanie sygnałów pasmowych

Sygnał, którego widmo leży w przedziale (ui,cl>₂) — ewentualnie (—cu₂, —np) — jest nazywany sygnałem pasmowym (rys. 3.11). Widmo takiego sygnału jest oczywiście ograniczone przez pulsację w₂. Jeśli więc będziemy go próbkować z pulsacją u_s > 2w₂, to na podstawie powyższego twierdzenia o próbkowaniu możemy go prawidłowo zrekonstruować z tak otrzymanego sygnału dyskretnego. Nie jest to jednak efektywny sposób próbkowania. Być może możliwe jest odtworzenie tego sygnału z sygnału dyskretnego także i przy mniejszych szybkościach próbkowania. Przecież sygnał dolnopasmowy o pul-sacji granicznej B, przy czym

B — u>2 — łuj ,    (3.22)

przenosi tyle samo informacji co rozważany sygnał pasmowy, a może być próbkowany z cu₂/i?-razy mniejszą szybkością (rys. 3.12)

u_s = 2B = 2(w₂ - w_x).    (3.23)

Równomierne próbkowanie sygnału pasmowego z tak małą szybkością nie zawsze jest możliwe, bo może prowadzić do nieodtwarzalnego aliasingu (rys. 3.13). Nieodtwarzalny aliasing nie ma jednak miejsca w przypadku, gdy pulsację u\ i w₂ są kolejnymi całkowitymi wielokrotnościami pulsacji w_s/2 (rys. 3.14). Takie sygnały, nazywane sygnałami całkowitopasmowymi, można próbkować z szybkością wynikającą ze wzorów (3.22) i (3.23).

3.T. Rekonstrukcja sygnału ciągłego

W dowodzie twierdzenia o próbkowaniu posłużyliśmy się idealnym filtrem iclnoprzepustowym do dokładnej rekonstrukcji sygnału ciągłego z sygnału