34642 IMG70 (4)

0. Geometryczne bryły obrotowe

1 Charakterystyka bryf

Jcźdf ubtymy, że oś morfologiczna strzały jest limą prostą prostopadłą do podstawy drzewa, a przekroje poprzeczne są przekrojami kołowymi, to możemy payjĘf. ze strzała jest bryłą, która powstała z obrotu figury ograniczonej krzywą morfologiczną, osią morfologiczną i promieniem podstawy.

W teorii dendrometrii przyjmuje się następującą postać funkcji dla takiej bryły

/*/u'    (1.1)

gdzie

v - promień bryły.

x odległość promienia od wierzchołka, p - parametr kształtu (wielkość stała dla danej bryły). r - wykładnik kształtu (wielkość stała dla danej bryły).

Wzór (III jest równaniem tworzącej regularnych brył obrotowych, to znaczy równaniem linii ograniczającej przekrój podłużny bryły regularnej. Przekrój poprzeczny bryły regularnej w każdym miejscu jest kołem. Różny natomiast może być kształt przekroju podłużnego bryły. Zależy on bowiem od przebiegu tworzącej, więc od paramcini kształtu i wykładnika kształtu. Parametr kształtu decyduje o wielkości promienia bryły. Przy tym samym wykładniku kształtu, bryły o większym parametrze kształtu mają większy promień w tej samej odległości od wierzchołka. Wykładnik kształtu decyduje o stopniu wklęsłości lub wypukłości tworzącej bryły w stosunku do osi obrotu. Wykładnik kształtu może przyjmować różne wielkości. Zwykle analizę wzoru (1.1) przeprowadza się w zakresie 0 £ r £ 3.5. W przedziale tym znajdują się cztery bryły, dla których wykładnik kształtu jest liczbą całkowitą. Przeanalizujemy te przypadki.

Gdy r=0, to y - 'Ip. Ponieważ

parametr kształtu p jest wielkością stałą dla danej bryły, to tworząca będzie linią prostą przebiegającą równolegle do osi x. Dokonując obrotu tworzącej wokół osi x otrzymamy bryłę geometryczną, którą nazywamy walcem < rys. 21 Gdy r = I. to y² = px. Jest to równanie paraboli o wierzchołku znajdującym się w początku układu współrzędnych. Dokonawszy obrotu tworzącej wokół osi i. otrzymamy purabuloidę

RyWfWk 2

Repiam* t*yty obf otow«

Gdy r = 2. lo y = x Vp Jest to równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych, nachylonej do osi x pod pewnym kątem, który zalezy od wielkości parametru kształtu. Po dokonaniu obrotu tworzącej wokół osi x otrzymamy stożek

Gdy r - 3. to y = pr\ Jest to równanie krzywej Neila, przechodzącej przez początek układu współrzędnych. Po dokonaniu obrotu tworzącej wokół osi x otrz> mamy bryłę, która nosi nazwę neiloidy

Tworząca brył o wykładniku kształtu zawartym w przedziale 0 < r < 2 ma kształt wypukły, natomiast brył o wykładniku kształtu r > 2 kształt wklęsły. Poznajemy dwie bardzo ważne własności brył regularnych.

Własność 1. Niech dany będzie przekrój poprzeczny bryły g_ir leżący w odległości a od wierzchołka. i przekrój poprzeczny leżący w odległości b od wierzchołka. Iloraz tych przekrojów Rysunek 3 jest równy ilorazowi ich odległości od wicrzchoł- ^{Dane dla} własnośo 1. brył otorotoka podniesionemu do r-tej potęgi (rys. 3):    ^wych

£ą

8t

8o_^Krt_^rl

Sb K r_b r_b

(12)

Dowód:

gdzie r_a i r_b są promieniami odpowiednich przekrojów. Ponieważ dla brył regularnych r²a = pa' i r²b - pb'. to:

L.eCJe. T Sb pb^r J

Własność 2. Jeżeli bryłę regularną podzielimy na części tsekcje) płaszczyznami prostopadłymi do osi obrotu bryły, to każda z tych części będzie miała taki *am wykładnik kształtu, równy wykładnikowi kształtu bryły całkowitej

2. Objętość brył

Objętość brył obrotowych o równaniu tworzącej v^: = /*«' jest równa

0 3)