34(1) 2

<•

Gdy ciało się wznosi, siła F_g jest skierowana przeciwnie do przemieszę; d ciała, co widać na rysunku 7.6. Zatem w tym przypadku 4> = 180'’ i:

Wę = mgd cos 180 = wgć/(-l) = —mgd.    (7.1;

7.nnk minus oznacza, że podczas wznoszenia się ciała działająca na nic siła ciężkości zmniejsza jego energię kinetyczną o mgd. Jest to zgodne z obserwacją! gdyż w' czasie ruchu w górę ciało zwalnia.

Po wzniesieniu się na największą wysokość ciało zaczyna spadać. Kąt między kierunkami F_g i d jest wówczas równy zeru. Zatem:

= mgd cos 0” = mgd(4* 1) = -t-mgd.    (7.14)

Znak plus oznacza, że teraz siła ciężkości zwiększa energię kinetyczną ciała o mgd. Jest to zgodne z obserwacją, gdyż podczas spadku ciało przyspiesza. (Jak przekonamy się w rozdziale 8, przekazanie energii przy wznoszeniu i spadku ciała w rzeczywistości nie dotyc/.y jedynie ciała, lecz układu ciało-Zicmia. Ter min ..wznoszenie się” ma oczywiście sens tylko wtedy, gdy rozważamy ruch względem Ziemi).

Praca wykonana przy podnoszeniu i opuszczaniu ciała

Załóżmy teraz, że podnosimy ciało, przykładając do niego pionowo siło F. Podczas przemieszczania ciała w górę siła zewnętrzna wykonuje nad ciałem pracę dodatnią IV'_/CWII, a siła ciężkości wykonuje nad nim pracę ujemną W%. Siła zewnętrzna /.większa zatem energię kinetyczną ciała, a siła ciężkości ją zmniejsza. Zgodnie z. równaniem (7.10). zmiana energii kinetycznej ciała, znajdującego się pod d/iahmicni tych dwóch sił wynosi:'

— Fic lawie “* £k potfz —- W/cwo +    (7.15)

•it

/!

ciało |

F,

r'‘

ciało

V..

.    5*

V

*0

Rys. 7.7. a) Podnosimy ciało działając silą zewnętrzną Przemieszczenie (I ciała tworzy z. działającą na ciało .siłą ciężkości F_g kąi -rz 180 . Siła zewnętrzna wykonuje nad ciałem pracę dłKlatnią. b) Opuszczamy ciało działając siłą zewnętrzną F. Przemieszczenie ii ciała tworzy z siłą ciężkości F._c kąt 4> — 0'. Siła zewnętrzna wykonuje nad ciałem pracę ujemną

h)

pr/y czym F_{k ko},k jest energią kinetyczną na końcu przemieszczenia ciała, a /:\ _fv,_K/ - energią kinetyczną na początku. Równanie to jest słuszne także w przypadku opuszczania ciała, z. tym, że wtedy siła ciężkości zwiększa energię kinetyczną ciała, a siła zewnętrzna ją zmniejsza.

Często spotykany przypadek szczególny to sytuacja, w której ciało spoczywa przed i po jego podniesieniu — na przykład, gdy podnosisz książkę z. podłogi na półkę. Wtedy zarówno £_k koiW* jak i F_{k |V0/} wynoszą zero i równanie (7.15) upraszcza się do postaci:

W/wm + Wg = 0.

czyli

lV*_wn ^ -VVg.    (7.16)

Zauważ, że taki sam wynik otrzymalibyśmy zakładając, iż wartości F_{k k0}fc ‘ £j. jxh.v. są różne od zera, lecz nadal równe sobie. W obydwu przypadkach praca, wykonana przez siłę zewnętrzną jest przeciwna do pracy wykonanej przez siłę ciężkości. Innymi słowy, siła zewnętrzna dostarcza ciału tyle energii, ile siła ciężkości od niego odbiera. Korzystając ze wzoru (7.12), możemy zapisać równanie (7.16) w postaci:

W/iwn — ”mgd cos 0 (praca przy podniesieniu i opuszczeniu; Zs_{k k}„rf_c = F_k

(7.17)

148

7. Energia kinetyczna i praca

czym 0 jest kątem między wektorami / _g i ci. Jeśli przemieszczenie ciała jest )svane pionowo w górę (rys. 7.7a). to 0 = 180' i praca wykonana przez siłę lętrzną wynosi mgd. Jeśli natomiast przemieszczenie ciała jest skierowane ^?*nowo w dół (rys. 7.7b), to 0 = 0° i praca wykonana przez siłę zewnętrzną równa —mgd.

Równania (7.16) i (7.17) opisują każdy przypadek podnoszenia lub opuszczana ciała, w którym ciało spoczywa przed i po zmianie wysokości. Nie występuje w nich wartość stosowanej siły. Na przykład, gdy Czcmerkin podnosił rekordowy ciężar, siła przykładana przez niego do tego ciężaru znacznie się zmieniała w czasie ruchu ciała w górę. Niemniej jednak, ciężar pozostawał w spoczynku na początku i na koócu ruchu, zatem wykonana przez zawodnika praca jest dana wzorami (7. i6) i (7.17), przy czym w ostatnim z nich mg jest ciężarem podnoszonego ciała, a d -- wysokością, na jaką zostało ono podniesione.

Przykład 7.4

W tym przykładzie powrócimy do wyczynów Andrieja Czciucr-kina i Paula Andersona

a)    Czemcrkin ustanowił rekord w podnoszeniu ciężarów, podnosząc sztywno zc sobą połączone ciała (s/iangę i walcowe obciążniki) o łącznej masie m = 260 kg: podniósł je na wysokość 2 m Jaką pracę wykonała nad tymi ciałami d/.tałająca na nie siła ciężkości podczas ich ruchu w górę?

ROZWIĄZANIE:

O-tt Ciała, które są ze sobą sztywno połączone możemy traktować jako pojedyncza, cząstkę i wyznaczyć pracę W_s wykonaną nad nimi przez F^ ze wzoru (7.12) (W_v = mgd cos <J>). Całkowity ciężar mg był równy 2548 N. wartość przemieszczenia </ wynosiła 2 m, a kąt 0 między kierunkami działającej w dół siły ciężkości i skierowanego w górę przemieszczenia był równy ISO . Wobec lego mamy*.

U'_ę = mgdcos0 = (25*48 N)(2 m)(cos 180 ) = • 5100 J.

(odpowiedź)

b)    Jaką pracę wykonała nad podnoszonymi ciałami, podczas ich ruchu w górę. siła przyłożona przez Czemerkina?

ROZWIĄZANIE:

Nie znamy wyrażenia na siłę. jaką C/emerkin działał na sztangę. lecz nawet gdybyśmy ją znali, z pewnością nic byłaby ona stała. O—t 1. Wobec lego nie możemy wyznaczyć pracy wykonanej przez Czemerkina. podstawiając po prostu do wzoru (7.7) jego siłę Wiemy jednak, że podnoszone ciało było u spoczynku na początku i na końcu ruchu.

O—r 2. Zatem praca H .u- wykonana przez Czemerkina była pi ze ciwun do pracy V\'_v. wykonanej przez siłę ciężkości /••• /.wiązek len jest /.iiwnuy w równaniu (7. Ib). z którego otrzymujemy:

\V_A( = - \V₃ = +5 HK) J.    i odpowiedź i

e) Jaką pracę wykonywał nad sztanga Cz.emcrkin. gdy trzymał ją nieruchomo nad głową*.’

ROZWIĄZANIE:

O—r podtrzymywane przez. Czemerkina ciała pozostawały w spo ezynku. Wobec tego ich przemieszczenie </ było równe zeru. a za tem — jak wynika / równania (7.7) - • wykonywana nad nimi praca również była równa zeru (choć oczywiście trzymanie ich nad głową było dla C/emetkina bardzo męczące).

d) Jaką pracę wykonała siła. którą Paul Anderson działał na pod noszone przez siebie przedmioty o całkowitym ciężarze 27UOO N. podnosząc je na w ysoko.ść 1 l m?

ROZWIĄZANIE:

Zgodnie z rozumowaniem przedstawionym w punktach (a) i (b). dla my — 27 900 N i«/ = l cm otrzymujemy;

VV^/(v\ — — Wy -- —mgdcos0 •- —mgdcos 180

= (-27900 N)(0.0l m)( -1) - 280 J (odpowiedź)

Wyczyn Andersona wymagał użycia olbrzymiej siły. skierowanej w górę, lecz. towarzyszyło jej przekazanie niewielkiej energii -280 i — gdyż przemieszczenie ciał było bardzo małe.

7.4 Praco wykonana przez siłę ciężkości 14^