40265 skrypt

PROGNOZA ŚREDNlOKWAORATOWA SYGNAŁÓW « Liniowa PQ3TAWlENlg PnOBLEMU PBnn..mv

PROGNOZA ŚREDNlOKWAORATOWA SYGNAŁÓW « Liniowa PQ3TAWlENlg PnOBLEMU PBnn..mv

RYS 2.7

(2.59)

/=!

gdzie / oznacza operator tożsamościowy, zaś P(S* ©.!>) — P(S ^l) - operator projekcji ortogonalnej na ortogonalne uzupełnienie pod przestrzeń i S względem przestrzeni S*

Z twierdzenia o najlepszej aproksymacji wynika, te optymalny estymatory_n(t) stanowi rezultat projekcji ortogonalnej elementu >’(0 na podprz.estrzeń 5". Jako element tej podprzestrzeni wyraża się on jako kombinacja liniowa elementów bazy zgodnie z (2.45)

%(t) = P{S])y{t) = a\y(t - I) 4-... 4- a_ny(t - n)    (2.56)

Zatem rozwiązanie problemu prognozy optymalnej w przestrzeni zmiennych losowych - tj. znalezienie elementu yjt) - sprowadza się do wyznaczenia reprezentacji

*,.....a„    (2-57)

elementu y(t) w podprzestrzeni S". Innymi słowy, naszym zadaniem jest wyznaczenie współczynników (2.57). minimalizujących l|e„(/)||. W tym celu skorzystajmy ponownie z twierdzenia o najlepszej aproksymacji (2.52)-(2.53), z którego wynika źe warunkiem opfymalności estymatora y_n(r) jest ortogonalność wektora błędu r,„(t) względem podprzestrzeni Sⁿr Przypomnijmy, że z. warunku 6„(/).L57 wynika, iż element e„{t) jest ortogonalny względem dowolnego ele iiientu podprzestrzeni ó? Ponieważ dowolny element tej podprzestrzeni wyraża się jako kombinac ja liniowa elementów bazy (patrz (2.45) dla / = I i k = n), zatem warunkiem wystarczającym ortogonalności wektora błędu względem przestrzeni obserwacji jest wymaganie jego ortogonalności względem elementów bazy y(t - I),... ,y(t - n) tej podprzestrzeni Z warunków

(2-58)

wynika bowiem

n

(M').Z//y('-0)ti = <)

na mocy addytywności i jednorodności iloczynu skalarnego. Stąd wniosek >,* warunki oprymnlności (średniokwadratowej)estymatora j?_n(r) to-

WO.y(i^))tł=o , * = 1.....„

Zauważmy, żc warunki (2.60) wystarczają do wyznaczenia reprezentacji ele memu y(f)^w podprzestrzeni 57 W istocie, biorąc poci uwagę (2.17). mamy dla

(MO.y(' - k))v = (y(0 1 4 y(t I )a, J- . + y(r - n)a_n,y(t - k))_n =

= M0.y{' - *))U + (y(f -1),y(r - *))_T/fl| i-+ -- . + (y(r-n),y(i-fc))_tła_ł|.-=0

co jest tożsame z układem równań (2.24). wynikającym z algebraicznego postawienia problemu prognozy. Analogicznie, w celu wyznaczenia błędu aproksymacji. zauważmy, że

ItatOllz/ ⁼ (^n(Oi^(O)w =

= (M')«y(0 ■ ^l +y(^f- I)U| 4- ...±y{t-n)a_n)_Vz=

= ($.('),y(0)ti =

= MO 1 +y(t- l)fl| 4-    4-y(t-n)a_n,y(t))n —

= (y(0,y(0)ti+

+ (y(t- l),y(0)tifl| 4-...4-(y(t-n),y(f))_T/d_n    (2.62)

Rozważając łącznie (2.61) oraz (2 62) dla k — l,...,n oraz interpretując iloczyny skalarne jako wartości funkcji kowariancji, zgodnie z (2.41). otrzymujemy układ normalny równań (2.28). co dowodzi równoważności podejścia al gebraiczncgo i geometrycznego do problemu prognozy optymalnej

Zauważmy, że macierz kowariancyjna występująca po lewej stronie równania (2.28). to w istocie macierz Grama elementów bazy przestrzeni zmiennych losowych Warunkiem istnienia rozwiązania tego układu równań jest nieosobli-wość macierzy Grama. Warunek ten jest spełniony wtedy i tylko wtedy, gdy elementy y(f), y(r— 1),—y(r - n) tworzą układ liniowo niezależny.

28

29

(d mmsssssssn

Liniowa prognoza śrepniokwaoratowa sygnałów stacjonarnych _

Przestrzeń Li{^fT) wielomianów zmiennej z

W celu sformułowania zagadnienia prognozy w przestrzeni wielomianów zmiennej zespolonej z rozważmy na wstępie „częstotliwościową" interpretację statystyk drugiego rzędu (tj . kowariancji) interesującego nas sygnału y

Na wstępie wyróżnijmy na płaszczyźnie C zmiennej zespolonej z —■ pe^j0. 0 = '/-■):

•    okrąg jednostkowy T = {z |z| I}

•    wnętrze koła jednostkowego Tl = {z : |z| < 1}

•    zewnętrze koła jednostkowego Ti =■ {z: |z| > I}

Przypomnijmy, że z twierdzenia Herglotza [20J wynika, iz warunkiem koniec/ nym i wystarczającym na to. aby funkcja c(£), £ = ...,-1,0.1 była funkcją kowariancji (2.41) pewnego sygnału losowego y. jest istnienie na okręgu jednostkowym T niertialcjącej funkcji    0 < 0 < 2n, takiej że

^C(*^{) =} 2'n Jo" ^rit9d^^e>9)

(2.63)

Funkcję £ (e^,e) nazywa się miarą spektralną sygnalny. Miarę spektralną ć,(c^j0) można rozłożyć (względem miary Lebcsque’a na *71 na dwa składniki:

<.(«*) = $.(«*)+ ««*)    (2.64)

gdzie:

•    Ł(e^) - nazywana częścią nieosobliwą miary spektralnej - jest funkcją bezwzględnie ciągłą (względem miary Lcbesque’a na 7); tj. d£ie^j0) = — W (e^J )d0, zaś funkcję \V(e^jn) nazywa się widmową gęstością mocy sygnału y;

•    &»(«'") - nazywana częścią osobliwą miary spektralnej - jest funkcją, której pochodna znika prawie wszędzie na T; tj.    = 0 p.w. Oznacza to.

że funkcja    jest przedziałami stała 1 ma skończoną lub co najwyżej

przeliczalną liczbę skoków (w których pochodna ta istnieje w sensie dystrybucyjnym). Stąd wniosek, że część osobliwa miary spektralnej reprezentuje skończoną lub co najwyżej przeliczalną liczbę składowych typu harmonicznego.

Dlatego leź składową sygnału losowego y. którą opisuje część nieosobliwą ^n[e^,n) miary spektralnej £(e^;0), nazywa się zazwyczaj jego częścią czysto

Postawienie problemu prognozy

przypadkową, a składową opisywaną przez część osobliwą §,(*/*) - jego częścią deterministyczną (podział sygnału losowego na część czysto przypadkową 1 część deterministyczną jest min wykorzystywany w cyfrowej syntezie mowy).

W dalszym ciągu przyjmiemy - w celu uproszczenia rozważań - że obserwowany sygnał losowy y jest sygnałem czysto przypadkowym; tj.    = 0.

Zatem dla sygnału czysto przypadkowego mamy

W(e>°)= X c[k)e’^t0

lr=—co

gdzie

c(*) = p e~^ik0W(e^)\

(2.65)

(2.66)

Wprowadźmy obecnie przestrzeń L₂(^rT) funkcji zmiennej zespolonej z, całkowalnych z kwadratem (w sensie Lebesque’a) na okręgu jednostkowym T, względem funkcji wagowej (2.65). będącej widmową gęstością mocy sygnału losowego y Można łatwo pokazać, że L^TT) jest również przestrzenią Hilberta. W istocie: V_/^_Lj(r) => f + g <= L₂(T). V_{/€Mr) Aa€r} => af£L₂{T). Iloczyn skalamy

(/(*).«£)>*=//(«*)

indukuje normę

11/(411 ^    *

oraz metrykę

<M/(4.s(4) = 11/(4-s(4llw =

-(/

(2.67)

(2.68)

i

(2.69)

zaś zupełność tej przestrzeni wynika z faktu, źe:

3_/€Ł?(T) {||f-fn\\    0 , n -V co}

W przestrzeni Li{T), pizeliczalny zbiór elementów {e’^kn jest wszędzie gęsty; tj    jest przestrzenią ośrodkową.

(2.70)

30

31