skrypt018

22    Rozdział 2. Sygnały i układy dyskrets:

•    w systemu' be? lisów, ale też bez sałaty liczba zajęcy spada do Cj -10090 liczby poprzedniej,

•    każdy lis zjada a₂ zajęcy na generację,

•    każda główka sałaty wywołuje przyrost liczby zajęcy o <13 sztuk,

•    każdy zając wpływa na przyrost liczby lisów o a₄ sztuk,

•    jeśli lisy nie mają pożywienia, to ich liczba spada w następnej generacji do as • 100% liczby poprzedniej.

Powyższe dane określają model matematyczny rozpatrywanego systemu ekologicznego, tzn. pozwalają go opisać jako liniowy dyskretny układ dynamiczny. Na ich podstawie można narysować schemat blokowy tego układu, pokazany na rys. 2.4. Zjawiska w tym systemie opisuje następujący układ równań tzw. równań stanu

xi(n+l) = aiatjjn) -- a₂x₂(n) + a₃v(n)

ii(n +1)    = a₄xi(n) + asx₂(n),    (2.4a)

Można je także przedstawić w formie macierzowej

x(n + 1) =

aj -a₂ O4 ^a5

x(n) +

a 3

0

u(n) = Fx(n) + gu(n),    (2.4b)

przy czym wprowadzono oznaczenia

xi{n)	F -	a\ —a2	nra? ęr —	«3
x2{n)	> ^r —	<24 (Z5	ui a łj g —	0

Macierz F nosi nazwę macierzy stanu układu i określa właściwości dynamiczne (np. stabilność) układu. Układ jest stabilny, jeśli wartości własne macierzy F leżą, wewnątrz okręgu jednostkowego Zagadnienia te zostaną rozpatrzone szczegółowo w rozdziale 6.

Rozważmy dla przykładu dwa przypadki:

» system (i) z żarłocznymi lisami, lecz odpornymi zającami

0.8 -5.3 0.1    0.4

oraz

e system (ii) z łagodnymi lisami i słabszymi zającami

0.4 -0.65 0.2    0.3

W obu przypadkach zakładamy ten sam wektor g

ten sam stały sygnał wejściowy u(n) = 1000 oraz te same warunki początkowe £j(0) = 50 i x₂(0) = 2. Na rysunku 2.5 przedstawiono przebiegi sygnałów X\{n) i x₂(n). W obu przypadkach układ jest stabilny, tzn. liczby zwierząt nie rosną do nieskończoności, a stabilizują się osiągając stan ustalony x 1 (00) = 186, x₂(oo) = 31 w systemie (i) oraz £4(00) = 255, x₂(oo) = 73 w systemie (ii). W systemie (i) zjawiska zachodzą burzliwie i liczby zwierząt zmieniają się oscylacyjnie, tzn. gwałtownie rosną w okresach rozkwitu, to znów gwałtownie maleją w okresach kryzysu. W systemie ekologicznym (ii) życie płynie spokojniej. Brak w nim głębokich kryzysów, a w stanie ustalonym żyje o ok. 37% więcej zajęcy i o ok. 135% więcej lisów. Żarłoczność nie jest więc wcale dobrą strategią dla lisów¹.

1

Wart.o, aby ten wniosek wzięli sobie do serca rządzący nami politycy.