51457 skrypt024

34 Rozdział 3. Rioces próbkowaniu

S

'—i

T.

1

(c)

Rys. 3.9. Sygnały spróbkowane: (a) sygnał idealny x*(kT_a); (b), (c) sygnały rejestrowane x^(t): (b) sygnał rozmyty, (c) sygnał schodkowy

Zakładamy, że przebieg q(t) ma skończoną energię. Istnieje zatem transformata Fouriera

/OO

q(t)e~^]ujtdt    (3.10)

-OO

oraz

1 roo

q(t) = — g(jw)e^d_W.    (3 11)

J — oo

Na podstawie równań (3.9) i (3.10) możemy napisać

/oo    r oo    ⁰⁰

x\t)e~'^iUjtdt =    E x*(nT_s)q{t - nT_s)e~^luidt

-oo

°°    roo    .    ,    ,

=    £ ®>^T*) / ę(f- nr_s)e-^jwłe^jwnr*e-^wnr'd< (3.12)

=    ( E x*(nT_s)e~^}wnT3j Q(jm) =    ,

\7l — — OO    /

przy czym wprowadzono oznaczenie

X*(e^FTl) = E *>^TS)^e~^j

ju/n_Ł j

(3-13)

Zamiennie posługiwać się będziemy również znormalizowaną pulsacją sygnału spróbkowanego, oznaczaną dużą literą fł i równą fł = w7V Zatem wzór (3.13) może być zapisany w postaci

Z^ł(e^jfi) = E **(«r₅)e-^j

-jf)n

(3.14)

3.4.    Reprezentacja Fouriera

3.4.    Reprezentacja Fouriera

Zauważmy, że wielkość X*(e^^Ts) określona wzorem (3.13) nie zależy od przebiegu q(i), a jedynie od sygnału dyskretnego x*(nT_s). Charakteryzuje więc sam sygnał x*(nT_s). Dlatego nazywa się ją transformatą Fouriera sygnału dyskretnego x*(nT_s).

Zauważmy, że jeśli założymy, że proces próbkowania jest idealny, tzn.

q(t) = S(t) ,

czyli

OO

x\t)= £ x*(nT_s)6(t - nT_s),

71—— OO

przy czym przez <5(t) oznaczono impuls Diraca, to

X*(e^jwT-‘) = **(jw).

Transformata Fouriera sygnału dyskretnego określona wzorem (3.13) jest więc widmem grzebienia impulsów Diraca pomnożonych przez kolejne próbki sygnału.

W celu wyznaczenia wzoru na transformatę odwrotną Fouriera sygnału dyskretnego wystarczy zauważyć, że funkcja X*(e^ju'^:r-') jest okresowa z okresem cj_s. Wyrażenie (3.13) można więc interpretować jako rozkład funkcji X (e^Jw/-’) w szereg Fouriera. Jeśli przepiszemy jeszcze raz wyrażenie (3.13) i skorzystamy ze znanego wzoru określającego współczynniki szeregu Fouriera, proste i od wrotne przekształcenie Fouriera sygnału dyskretnego możemy zapisać w postaci pary następujących wyrażeń:

OO

(3.15a)

X*(e^j“^Ts)= £ x*(nT_s)e~^^nT’ ,

n=—oo

OO

(3.15b)

łub inaczej

(3.16a) (3.16b)

n= — oo

x_n = ^~ r x*(_e'^Q)<j^Q\m.

Z7T J — 7r

Wyrażenia (3.15a) i (3.16a) określają tzw. dyskretnoczasowe przekształcenie Fouriera (DtFT), wzory (3.15b) i (3.16b) — odwrotne dyskretnoczasowe przekształcenie Fouriera (IDtFT). Przekształceń tych nie należy mylić