skrypt

, PROGNOZA ftnEOHIOKWAPBATOWA SYGNAŁÓW STACJONARNY,:!; REKUnENCYJNE ME TOPY ROZWIĄZANIA PROBLEMU

rąe pod uwagę. że    &

s„₊ ,(/)== AC^^+l©sf^+!3i>(0 = (^/-^,,('^ęi ⁺ ')^'⁾ a

u„₊,{!) = /’(5;^+le5o)y('-«-!) = ('-'WM'-ⁿ- •)

oraz uwzględniając dekompozycje operatorów projekcji (2.234) i (2.235), otrzy-mujemy

,_n+l(0 = (/-/’(57))>(0-/^,W'-^|)M') =

gdzie wykorzystaliśmy (2.209) oraz zdefiniowaliśmy współczynnik Schura jako

Pn+1 = -(e_n(/),r„(r- !))«

(2.239)

Uwaga 1: Zauważmy, u |p„_+l| < l jako warto." iloczynu skalarnego elementów unormowanych e„(t) i r_n(t - I).

Uwaga 2: Przypominając definicje iloczynu skalarnego (2.30) w przestrzeni (dla rzeczywistych elementów), zależność(2.239) implikuje

= e„(t) -P(r„(r- 0 W')

(2.236)

'•

P"+1 - ~ J^e„(t,u)r„(t - \ ,u)p(du) = Ee„(t)r„(t -

1)

(2.240)

(2.237)

(2.241)

•W') = (i-P(s",))y(<-ⁿ-'')-^pM,'⁾W~" ^l,_

= (-.W-WIW'-"-¹)

Przypomnijmy, że projekcja elementu o na podprzestrzeń span{b}. rozpięta na elemencie b. wyraża się jako

'W® (M)

Zatem mamy

P(r„(t- l)).v(ż) = (v(ż).r„(/- l))u r„(t- 1) gdyż. ||r„(t - l)||?j = I. zgodnie z (2.225). Podobnie

PMt))y(<- »-!) = W'-"- l).«»(0)u «»(')

Rozważmy iloczyn skalamy (y„~ •))«• Zauważmy, że y„(f) e Są (2-54). podczas gdy r„(t - I) JLSf (2.226). Zatem mamy

(.~l))u = 0

i w konsekwencji

(y(t).r„(r-i))._u = (y(i),r„(t-\))v-(yA>)'^rn('- 0)u =

= (yU)-$•»(')<^r*(^r- >))«=

= M0.U'-0)uHM')llu(«p('W'-i))u =

= -|M')lluP<.+i    <^{2 238)}

Zatem współczynnik Scluira p_n+, możemy interpretować jako korelację wzajemną (unormowanego) błędu prognozy wprzód e_n(t) oraz opóźnionego (unormowanego) błędu prognozy w ryl r„(t - 1).

Z (2.236) i (2.238) wynika, że

P{'n(r - l))y(r) = ||e„(r)||_up„₊,r„(r - l)

i w konsekwencji otrzymujemy zależność rekurencyjną. określającą podwyższanie rzędu błędu prognozy w przód jako

^F-n+ I (0 = Cn(r) -ł- |M0llllPn f I r„(t - I )

Wykorzystując (2.209) i rozważając unormowaną wersję błędu w przód rzędu n + l

^Cn+ I (0 ^{= £}/i+l (0ll^n+l(^f)||<7/¹ wraz z

(0 ^{= e}"+l(^r)ll^en+l(0ll‘U zależność (2.241) możemy przepisać w postaci

*«+iM ⁼ iTc    M0 + P»+ir»(r - 01

69

68

((((((((IlliaSIlłl

Liniowa prognoza śreoniokwadratowa sygnałów stacjonarnych

Rekurencyjne metody rozwiązania problemu prognozy

70

W celu otrzymania ostatecznej postaci lej zależności skorzystajmy 7 tożsamości (e_n+l(t),e_n+|(f))tj = • =    i^en(l) +Pn+t^rn(t -!),«„(/)-(-

ll«n+l(0llu

+ p„+ir„(r- l))_ux

IMOIh

II^£a+i(0IIu

= p-^yjjr[(^e"(').^e->('))ti+p_n+i(en(f),r„(r- 1)){J +

+ Pn+l(r„(r— l),e„(f))u + p„²₊|(r„(f- I),r„(r- l))_u] =

IMOIIl

ll^£n_+l(f)|li ¹

iir [^{1 —} Pn+1 +P"+I + Pp + li =

Ilu M 2 V MI2 '    P«+l)

Hfc+iMlU,'

gdzie wykorzystaliśmy przemienność iloczynu skalarnego (2.239). Stąd

IMOIlu ,.    2 j-j

^P"^+l)

i ostatecznie

^en+l(t) = C'l -p„₊|) ■ [e„(f) + p_n+|r„(r - ])]    (2.242)

W podobny sposób możemy wykazać analogiczną zależność rekurencyjną podwyższania rzędu błędu prognozy w tyl, która wyraża się jako

'<i+l(t) = (1 — Pn+ I) ^[Pn+\tn(l) + r_H(t - 1)]    (2.243)

Dowód 7-ortogonamości macierzy 0(p„₊₁) przeprowadzimy przez sprawdze-

0(pMiy0-(p_n+i) = (l-p?_+|)-'

= ( ¹ - Pn + I) “ ¹

>1 [■ 01 fl    A.+ ,

•JLO-lJlpn+l I

* Pn₊1

Pn-f I    l_0 lj |_ p/i+1    1

i-p„²+i    oi _ r i o

“(• -Pn+l) J [0-t

= J

Ortogonalna reprezentacja estymatora prognozy

Zgodnie z (2.205) optymalny (średmokwadratowo) estymator y„(r) zmienni losowej y(r) wyraża się jako

M‘) = P(SłMt)    (2.244

Z kolei zauważmy, że z (2.233) (przy n + I zamienionym na n) otrzymujemy 5|=57“^l©span{r„.,(r- I)}    (2.245

Stąd wynikają kolejne ortogonalne dekompozycje podprzestrzeni:

⁵T~' = •$7^_2©J^rpan{r„_₂(t- I)}

(2.246

S² = ^J®jprm{n(r- 1)}

gdzie Sj = span{ro(t - I)}. Uwzględniając (2.246) w (2.245), otrzymujemy

SI = e^span{r,(t - I)}    (2.247)

co oznacza, że zbiór (r,(t    I)}"_T₀^r stanowi bazę ortonormalną (ON) prze

strzeni S"

(n(t - 1 Wr - t))u = <5,.t = { ‘ jg. J jj )    (2.248)

gdzie Ą * oznacza deltę Kroneckera. Stąd wniosek, że

P(SJ)=2:^lp(r,(r-l))    (2.249)

/=0

Wykorzystując dekompozycję (2.249) operatora projekcji P{SF_X) w (2.244), otrzymujemy

n— I

^(0 = m7W0 = Ż^-DW0 =

1=0

= Z(y(0,n(i-\))vn(r-\) =

i=0

n— I

= Zp'+i 0

(=0

(2.250)

71