85715 skrypt

Liniowa prognoza Arponiokwapratowa sygnałów stacjonarnych

72

Biorąc poci uwagę (2.206). mamy

rr - I

«•»(/) = >(')-MO = y(')~ Zm+roU- i) i=0	(2.251)
a stąd
n		$
IWOIll - MO.e*(t))v= IWOIlŁ- Za^2 /= 1	(2.252)	4
i w przypadku, gdy ||£n(0ll 0. przy n-i co, otrzymujemy równość Parscvala		Ę
ll>(')ll5/= Zrf	(2.253)	1
/= 1
Stąd wniosek, że:

•    (2.251) stanowi sumę częściową szeregu Fouriera zmiennej losowej y(r),

•    współczynniki Sc hura (2.231) stanowią reprezentację ortogonalną prognozowanej zmiennej losowejy(t) w podprzestrzeni obserwacji SĄ,

•    współczynniki Schura można również interpretować jako współczynniki Fouriera w ortogonalnym rozwinięciu estymatora prognozy

Przestrzeń /.^(T)

W punkcie 2.1.2 przedstawiliśmy izomorfizm (Kołmogorowa) pomiędzy prze strzenią Hilberta £2 {W, 9?,//}. której elementami są zmienne losowe (ij. obserwacje sygnału losowego y) całkowalne z kwadratem (względem miary prawdopodobieństwa// po przestrzeni Zł), a przestrzenią Li(T), której elementami są funkcje zmiennej zespolonej z całkowalne z kwadratem na okręgu jednostkowym T względem funkcji wagowej. którą stanowi widmowa gęstość mocy W(e^) czysto przypadkowego sygnału y W szczególności, z izomorfizmu tego wynika, że:

•    reprezentantem teraźniejszości y(r) jest z° — I. tj., y(t) i-i z°= 1

•    reprezentantem podprzestrzeni 5q jest podprzestrzeń Ufi

So-sran{y(t),...,y{r-n)}    <-> US = span{z°,    , z"}

•    reprezentantem przeszłości w chwili r n (tj. y(f n)) jest zⁿ y(t - /i) i-i zⁿ

(2.254)

(2.255)

(2.256)

ffCKIIIIJ

Liniowa prognoza średniokwadratowa sygnałów stacjonarnych . j

Zdefiniujmy błąd aproksymacji elementu z⁷¹ za pomocą wielomianu T_n(z) jako jg'

B,.(z) 4 P(US© l/₀""¹ )Z" = b_n,,z⁰ +... + b„., z"-¹¹ + 1 z" LUS~¹    (2.267)

Z izomorfizmu Kołmogorowa wynika wówczas, że reprezentantem błędu estymacji w tył u_n(f) zmiennej losowej y(t - n) za pomocą y„(t) jest B_n#(?)

iż_n(0 = y(t -    ~M') B_n.(z) = z⁷¹ - Y„(z)

Wprowadzając błąd unormowany

B„.(z) = B..(z)||B,.(z)||^ = b_n,„z° + ... + b_a. oz" = i>„,-z"^_'

1=0

(2.269)"m

')$Ś

na podstawie izomorfizmu otrzymujemy (por. (2.214))

|(/) W B_n.(z)    (2.270)^1

Mając

y(f-k) i-i 7^k

zauważmy, że

y(t -k - I) <-► zz^ł = /^+l    (2.272)$%.

Na tej podstawie, wykorzystując (2.214) oraz (2.219), otrzymujemy

U') = b_n,„y(§:+... + b„fly(i‘-n) (-► B„.(z) = fe_n,„z° + ... + i>„,₀z" (2.273)J|

a z (2.222M2.226) wynika, że w przypadku, gdy obserwowany sygnał jest sta cjonaniy

^rn{t — 1) = bn,_ny[t — 1)+ • • • -F^/r,0)’(^ ~ n — 1 )

f-> Z-B_nm{z)=b_ntnZ^l+... + bn,₀Zⁿ+'    ⁽² 274)M

tj. z możemy interpretować jako operator opóźnienia Rekurencyjne rozwiąza-nic pioblcmu prognozy średniokwadratowej w przestrzeni /^(T) precyzuje

Twierdzenie 3

Mając unormowane błędy, odpowiednio w przód A„ (z) i w tył B_n* (z), prawdziwe i są następujące zależności:

An+\[2)

B[n \I ).(^Z)

(2.275)

-ag-.

"’^k<* —• « .

f/₀" = .?pan{z®,{/"}

. . _r .    (2.257)

i zdefiniować (por. (2.85))

A_n(z)4_W)z0 _{= anjz},_{+ +<w},

....    (2258)

^{WÓWCZas 7} izomorfizmu (2.79H2.8I) oraz z izomdri, (2 *-»    ..

"""" ^w,) —«'~4 ko j« So“ ta

>)_n(r) = F(S7)y(r) <-> a„(_z) _ />(^y")_zo

(2.259)

a błąd aproksymacji elementu z° = | za pomocą u,;«i_nni* . . .

jako (por. (2.87))    ^{P 4} elomianu A„ (z) wyraża się

An(z)4/>(_C/»_et/j._)rO₌,._z0₊    ,

^{J +} W -Lt/|    (2.260)

i wówczas mamy (por (2.88))

_e„(/) = y(/)-})„(,)    A„(z) = _z°-A„(_z)

zaś po unormowaniu

/A„(r) = A_n(z)||A_n(z)||^J =a_nł,z⁰-F...-f-a_fł^_|Zⁿ 7. izomorfizmu Kołmogorowa wynika, że ^en{t) <~i A„(z)

Analogicznie, przepisując (2.211) jako US = span{U^-\zⁿ) zdefiniujmy

(2.262)

(2.263)

(2.264)

'i_n.(z)-P(U^ ^,)zⁿ = P„_J,z⁰ + . -\-p_nlZ"-' ₌ Y_ip_n.₂n-i_&un~i ₍₂₂₆₅)

1-0

gdzie . oznacza „odwrócenie czasu” Wówczas, na mocy izomorfizmu, reprezentantem estymatora wrył y„(r) zmiennej losowej y(r - n) jest wielomian T_n( z)

(2.266)

wo=^f!r^,)y(f-/o <-> t^z)=p(c/j“v

1 i 1 i 111

73

Rekurencyjne metooy rozwiązania problemu prognozy

gdzie 6(p_n+1) jest wyrażona wzorem (2.228), a

p„₊₁ 4 —(/ł„(z),B„.(z))_w= f A„(e>⁹)W(e^lfl)e-’^eB_n.(e’^B)^d^-    (2.276)

J-rt    Z7T

Dowód: Na mocy izomorfizmu Kołmogorowa. jest identyczny z dowodem Twierdzenia 2 i zostanie pominięty.    □

Uwaga: Wartość liczbowa współczynnika Schura p_n+\, wyznaczonego przy użyciu zależności (2.276) jest identyczna z jego wartością wyznaczoną w oparciu o wzór (2.231), na mocy izometrii (2.80).

Ortogonalna reprezentacja transmitancji filtru

Zauważmy, że z (2.245) oraz z izomorfizmu Kołmogorowa wynika następująca ortogonalna dekompozycja podprzestrzeni

(2.277)

oraz, że na podstawie odpowiednika zależności (2.246) otrzymujemy ortogonalną dekompozycję

UJ = ©gjUpan{zB<.(z)}    (2.278)

co oznacza, że zbiór {£/.(*)} jjjg¹ tworzy bazę ortonomialną podprzestrzeni UJ

{Bi* {z), B^_t (z))    — 8j

U

(2.279)

Innymi słowy, jest to zbiór wielomianówortonormalnych Szegó [46J, otrzymany w wyniku przeprowadzenia oitogonalizacji (Grama-Schniidta) zbioru (z'}_ł=0. Stąd wniosek, że

i=0

Biorąc pod uwagę (2.258), otrzymujemy więc

A„(z) = "Y_jP(iB„{z))z^(>=

1=0 ⁱ⁼⁰ n~ I

= Ypi+\zB,.(z)

i=0

(2.280)

74