29728 skrypt

Liniowa prognoza średniokwadratowa sygnałów stacjonarnych drugiego rzędu

NiccIi y oznacza stacjonarny w szerszym sensie, scentrowany sygnał losowy drugiego rzędu o czasie dyskretnym. Oznaczmy przez t ustalony punkt na osi czasu i załóżmy, że sygnał y jest obserwowany na skończonym odcinku czasu

{/-M- 2,.

(2.1)

Stanowiącym /i-krokową przeszłość względem chwili t. Sygnał ten jest reprezentowany za pomocą zbioru zmiennych losowych

(2.2)

stanowiących zbiór obserwacji (tj. zbiór wartości) tego sygnału

Problem prognozy jednokrokowej prognozy można postawić następująco (patrz rys. 2.1): znając wartości (2.2) sygnału w chwilach (2.1), należy wyznaczyć wartość (tj. zmienną Josową) y(t) tego sygnału w chwili t Jest jasne, żc zc względu na zależności statystyczne między zmiennymi losowymi opisującymi sygnał, wartość sygnału w chwili r jest zależna od jego wartości przeszłych, tj można ją wyrazić jako wynik działania pewnego (nieznanego) operatora 7

v(/) = nv(' -1),

y(/ - n)

(2.3)

J-^lr,IOWA PROGNOZ A SnEONIOKWAUnATOWA 3YOMAI.OW s TAC JON A FI N Y

Przeszłość

y(0

Rys 2.2 „Idealna" prognoza sygnału

Przeszłość

Mr)

RYS 2 3. Aproksymacyjna prognoza sygnału

lub, schematycznie, jak na rys 2.2. Ponieważ operator 7 nie jest nain znany, możemy założyć, że operator ten należy do pewnej klasy operatorów (np operatorów liniowych, nieliniowych stopnia 2. 3 itd. 151, 53]). Następnie, wybić rając element A z tej klasy operatorów, możemy wyznaczyć estymator (patrz

rys. 2.3)

>*(') = *[y('-i),. Mt ")]

(2.4)

i definiując błąd estymacji zmiennej losowej y(r) (lub równoważnie błąd aproksymacji operatora 7 za pomocą operatora A)

«*(') =y(r)-y*(r)

(2.5)

możemy zminimalizować - według przyjętego kryterium - nieujemną miarę błędu (2.5). Przyjmując kryterium ś red ni ok w ad rato we i definiując biąri śred niokwadratowy

r% Ł e4(0

(2.Ó)

y(r-2) y[l — I)

-1-1-b

t-2 i - I    /

RYS. 2.1    Problem prognozyjednokrokowej sygnału y

16

Liniowa prognoza średniokwadratowa sygnałów stacjunahm . • u

Rys. 2.4. Optymalna (śrcdniokwndrniowo) prognoza sygnału

model liniowy, a więc założyć, że A = L, gdzie L oznacza operator liniowy Wówczas mamy

l=l

(2.7)

gdzie {a,stanowi odpowiedź impulsową liniowego filtru izędu n, tj. filtru Z czasem dyskretnym, o skończonej (/i-krokowej) odpowiedzi impulsowej. Siad wniosek, że estymator (2.7) możemy nazwać estymatorem Urnowym rzędu n Modelem ogólniejszym jest model nieliniowy, w którym operator A należy do klasy operatorów nieliniowych Volterry-Wicnera [43, 41. 51. 53|. Model taki stanowi naturalne uogólnienie modelu liniowego. I lak. przyjmując model me-liniowy stopnia drugiego, mamy A — Ni, gdzie

JMO = ^Nl\y] = X a,y(t - i) +

i=i

^,=i >-1

(2.8)

i (2.8) nazwiemy estymatorem nieliniowym stopnia drugiego, rzędu n Dla modelu nieliniowego stopnia trzeciego mamy A — N-\, gdzie

>’o(0 = N_y[y] - £ ct/y(t - i) +

/^i

n n

/= 1 jes\ n ii n

+ Z Z Z    - 0>(f - j)yO - k)    (2.9)

*=i;=u-i

2.1.

(gdzie E oznacza operator uśredniania probabilistycznego), mamy sytuację przedstawioną na rys 2 4 Jeśli dokładność estymacji (aproksymacji) jest wystarczająca, to oznacza żc operator A jest dobrym modelem opera lora J. W przeciwnym wypadku, w celu poprawy dokładności estymacji (aprok syinacji), niezbędne staje się zastąpienie (np. liniowego) operatora A operatorem bardziej złożonym (np. nieliniowym stopnia - kolejno - 2. 3 itd.) i powtórzenie opisanego wyżej postępowania. Na wstępie najprościej jest przyjąć

17

Postawienie problemu prognozy

i estymator (2.9) nazwiemy estymatorem nieliniowym stopnia trzeciego, rzędu n Zauważmy, że L N\\ tj . że model liniowy, to model nieliniowy stopnia pierwszego, czyli y„j_m =y_n,\. W przypadku ogólnym, estymator nieliniowy stopnia m i rzędu n będzie określony jako

min    ii

9nAo = Ak[y] = £ \ Z Z ^ah ^ ~ ^ł"l) • ■ y(^r - ¹p)

(2.10)

Z powyższych rozważań wynika wniosek, że błąd (np średniokwadratowy) estymacji zależy od:

•    rzędu filtru n,

•    stopnia nieliniowości filtru m.

Zatem możemy postępować następująco: rozważać modele począwszy <xl najprostszych (np. od modelu liniowego), podwyższając w miarę potrzeby rząd filtru n lub jego stopień nieliniowości m, aż do osiągnięcia wymaganej dokładności estymacji (tj. do osiągnięcia żądanej wartości błędu średniokwadra-fowego). Mając (2.10), zdefiniujmy błąd rzędu n i stopnia m jako

Sn ,m{t) Ł y(t) - y_n,m(l) = T\j] ~ Nj$

Przypomnijmy, że dla sygnału gaussowskiego najlepszy możliwy filtr (średniokwadratowy) to filtr liniowy. Dla tego sygnału, minimalny błąd średniokwadratowy wyraża się jako

«Ł,,= £«£.,(«)    ^<2I2)

Z kolei, dla sygnału niegaussowskiego bezwzględnie najlepszy filtr jest związany z błędem estymacji £».«(/). a odpowiadający mu błąd średniokwadratowy to

/£.«> = E<„(0

W dalszym ciągu rozważań skoncentrujemy uwagę na modelach liniowych, jako najprostszych. Dlatego też. w celu uproszczenia notacji, me będziemy uwzględniać stopnia nieliniowości filtru (równego I dla model, liniowych).

Postawienie problemu prognozy

W niniejszym podrozdziale przedmiotem naszych rozważań będzie jednokro-kowa liniowa prognoza średniokwadratowa. Kolejno omówimy.

19

18