78507 skrypt

I INIOWA PROGNOZA ŚREONIOKWAORATOWA SYGNAŁÓW STACJONARNYCH

•    postawienie problemu prognozy metoda algebraiczna, prowadząca do tzw. układu normalnego równań,

•    postawienie tego problemu metoda geometryczną w trzech przestrzeniach: zmiennych losowych, wielomianów zmiennej - oraz. wektorów wspólczynni ków,

•    równoważność wymienionych podejść geometrycznych, na mocy tzw. izomorfizmu Kolmogorowa,

a następnie, pokażemy równoważność podejść algebraicznego i geomctrycz- ® nego.    M

Podejście algebraiczne

Zgodnie z (2.7) liniowy estymator ne/lu n wyraża sie jako A(0 = «i>’('-1)+■ ■■ + a_ny(t-n)

Odpowiadający nut błąd estymacji to

(2 14)

~~~ --

(2.IS)

^R" ⁼ EeJ(r) = /?'(_a)

zależy wyłącznie od współczynników film, ni .

błędu średniokwadratowego sprowadza sig do śyymagamaT/"

dRl .

(2.19)

j?f = ^0dla‘='.

Biorąc pod uwagę (2.17) oraz (2.16), z warunku (2.19) otrzymujemy

dR^r„    a_F 1.1

—■ = 2EeJl)~1Xl ^oak    ¹ da_t

= 2F.£„(r)y(r_*)_=:

-    2E{ly(r) + a,y(r- |) , . 4- o„y(r - n)) y(t - k) =

-    2{l Ey(r)y(r - k) f

_ *    - l)y(r-k) + .    + u„Ey(f — n)y[t — k)} —

M0=y(0 -MO = Z ^a‘y(' ~ 0

1=0

(2.15)

jeśli przyjąć a_t = -a/, i = I.....n oraz no = I Zadaniem naszym jest wyznacze

nie współczynników {ajjf, (t). odpowiedzi impulsowej filtru prognozującego), minimalizujących błąd średniokwadratowy

< = Ee„²(0

co schematycznie pokazano na rys 2.5

Zgodnie z (2.15) błąd estymacji możemy zapisać jako

e„(r)= I y{t) -l-a\y(l — I) + ... + a„y(t - zr)

MO ⁺!

(2.16)

(2.17)

^<ila k    Zauważray- ^{że dla} stacjonarnego sygnału losowego

Ey(t)y(t-k) Ł_c(k)

Stąd otrzymujemy

^F-.v(r t)y(t - j) ‘ =’ Ey(r - i + _CT)y(r - j + o) =

"=' Ey(r)y(r - () — /)) =

A zatem.

dR^r;.

-$ai ⁼ 2 f * ' ^CW 1-U|c(k — I) 4-... 4- a_nc{k — n)} = 0

Rozważając (2.23) diak = I, . ,,n. otrzymujemy następujący układ równań li-mowych

(y(l-n).    ,}■('- I))

Ki=,

1 c(l)4-a,c(0)4-... + a„c(l -n) = 0 I •c(2) + a,c(l) + ... + a_nc(2-n) = 0

Rys. 2.5. Liniowa prognoza średniokwadrntowa

20

Liniowa prognoza śreoniokwadratoyza sygnałów stacjonarnych

klóry należ.y rozwiązać ze względu na współczynniki ii|, ,rr„ Znajomość tych współczynników umożliwia wyliczenie błędu średniokwadratowego prognozy (2.16). W istocie z (2.16) otrzymujemy

^Rn =    =

= Ec„(r) {1 >(r)+aiy(r 1)4- . 4 a„y(t - n)) -

= E£„(/)y(/) 4- X ^a*Ee„(r)y(r k)

k-1

(2 25)

Ponieważ z watunku minimalizacji błędu średniokwadratowego (2.20) wynika, że

■Sr

I c(n)4-aic(n — 1) + ... +a„c(0) = 0

(2.24)

21

postawienie problemu prognozy

• wyznaczenia optymalnego estymatora y(t) zmiennej losowej y(t), i wyznaczenia odpowiedzi impulsowej {<:,} optymalnego filtru prognozującego (np. przy użyciu przedstawionego wcześniej podejścia algebraicznego), i wyznaczenia transmitancji , \(z) optymalnego filtru prognozującego,

co Schematycznie pokazano na rys. 2.6.

Przeszłość sygnału y	{o,}	9(0
	MO

RyS. 2.6. Równoważność wyznaczenia optymalnego estymatora i charakterystyk filiru optymalnego

Ec„(r)y(r - k) = 0 dla k = I,. ,n zatem

(2.26)

K = Ec„(r)y(r) =

= E{I y(r)4-aiy(r I) + ...4-a„.v(t-«)}y(r) = = 1 -c(0)4-a|c(-l)4-...4-a_nc(-n)

(2.27)

Dołączając wzór (2.27) do układu równań (2.24), otrzymujemy ich łączną po siać macierzową

f(n) c[n - 1) c(n - 2) .. r(0)

^c(0) c(-1)    c(—2)    ... c(—n)

c(l)c(<>)    c(-l)    ... c(—n4- I)

c(2)c(l)    c(0)    ... c(-zi 4 2)

	’ l		K
	fli		0
	a2	=	0
	an		0

(2.28)

Układ len jcsl często nazywany układem równań Youle'a-Walkera lub układem normalnym równań.

2.1.2. Podejście geometryczne

Jak pokazaliśmy w poprzednim podrozdziale, algebraiczne podejście do problemu (jednokrokowej) liniowej prognozy średniokwadratowej pi owadzi do tzw normalnego układu równań liniowych. Rozwiązanie tego układu ze względu na współczynniki ai, . ,o„ daje odpowiedź impulsową optymalnego (średniokwa-dratowo) filiru prognozującego, (j. zapewniającego minimalną wartość błędu średniokwadratowego R‘ (2.16). Zauważmy jednak, ż.e na zagadnienie optymal nej progjnozy średniokwadratowej można spojrzeć z trzech punktów widzenia:

Aby pokazać, ż.e każde z tych podejść prowadzi do identycznego rozwiązania rozważanego problemu, wygodnie jest posłużyć się podejściem geometrycznym Podejście to - jak się okaże - umożliwia postawienie i rozwiązanie w jednolity sposób każdego z wymienionych problemów (jak również problemu optymalnej filtracji odsziimiającej).

Przestrzeń l.₂{ll,W,fi} zmiennych losowych

Podejście geometryczne do zagadnienia wyznaczenia optymalnego (średnio-kwadratowo) estymatora prognozy MO <2-W) wymaga 'n^^ji zn iem n»C l.»»,d, ..............

elementów pewnej przestrzeni wektorowej [54. . I >    __{d 7e}ii

przestrzeń Probabilistyczną    gd* V —

9! jest o ciałem podzbiorów (mierzalnych po bordowrtuJ

dopodobieństwa na 91. ^Elen]fn«™    ₀znacza prostą rzeczywistą

czy wisie (zmienne losowe) / U>-* A.- a.

w'⁴**

(2.29)

L

_sl„AW. •.    "

przestrzeni U.

W przestrzeni tej wprowadza się iloczyn skalamy jako

(f,g)_v= ( n“)g(u)p(d«)^m

Ju    23

22