76490 skrypt

Liniowa prognoza ŚREDNIOKWADRAtowa sygnałów s ta ci on a on^ch REKIjngMCyjMF. METODY ROZWIĄZANIA PROBLEMU PROGNOZY

52

w kolejnych krokach algorytmu, dla /»= 0.....p. wyznaczaliśmy zbiory współ- j

czynników    —

....., n — 0...... O-"*) I

Utwórzmy (dolno-irójkątną) macierz A,,, zawierającą wszystkie kolejno wyliczane zbiory współczynników (2.164)

A „ =

0/..O	0	... 0
0p,\	Op- 1.0	0
Cip,2	Op- 1.1	... 0
. ^ar.r	7	... 00.0

Zatem mamy

CpAp —

y/K

0

(2.165) § ---

:(0) • • c(-p)

	ap, 0	0	... 0
	cip, 1	Cip- 1.0	0
	^aP, 2	Op-l.l	... 0
	°P,P	Op- \,/)- 1	• • 00.0

(2.166) v

2.2.4

0 y/Rę)

gdzie przez * oznaczyliśmy nie interesujące nas elementy macierzy. Wykorzystując (2.152). rozważmy iloczyn

A'_pC_r\_r -

^ap.O ^ap, i • • • ^aP.P 0 On-1,0    ^ap-\,p-\

0

0 ono

(f (f l

0 _v^o-

(2.167)

Liniowa prognoza średniokwadratowa sygnałów stacjonarnych

Przypomnijmy, że warunkiem optymalności (w sensie średniokwadratowym) estymatora prognozy

9>i(0 = <*n.\y[t - l) + • • • + a_ni„y{t -n)    (2.174)

było wymaganie (2.20)

Ee_n(r)>(f — Ar) =0 dla k= 1(2.175)

to jest aby błąd prognozy był nieskorelowany z przeszłością sygnału obserwowanego. Stąd wniosek, że

E*(')A(0 = o

(2.176)

tj. błąd prognozy jest nieskorelowany z estymatorem prognozy rzędu n. Roz ważmy obecnie sygnał o skończonym czasie skorelowania n i zdefiniujmy estymator

:M0 = «co,l)'(^/ - 1} + •.. + a*,ny(t - n) -f a*>,n4 !>•(/ - n - 1) -f . .    (2.177)

Wówczas mamy

w

+ Tj°^>,n+j^n(t)y(t-n-j) = Q J=\

(2.178)

gdyż zerowanie się pierwszego składnika prawej strony wynika z warunków optymalności estymatora prognozy (2.176). a zerowanie się drugiego składnika ze skończonego czasu skorelowania sygnału. Stąd wniosek, że

E£/i(/)e_n(f — k) = 0 dla A: = 1,2,...    ^2179)

gdyż

e„(/-*) = >*(/ — A:) _₌

= y(t-k) - a„'\y(t -k - I- k - n)    (2.180)

1 meskorclowanie błędu prognozy wynika znowu z warunków optymalności estymatora (dla opóźnień do t - n) oraz. ze skończonego czasu skorelowania sygnału (dla opóźnień/ -n — k= 1,2,..,). Nieskorelowanic błędu prognozy

Ponieważ, prawa strona (2.167) jest macierzą gómotrójkątną. a lewa macierzą symetryczną, stąd wniosek, że prawa strona jest macierzą jednostkową. Mamy

A'C_rA„ = /

(2.168)

Zauważmy, że A_r jest macierzą nieosobliwą. gdyż jej elementy diagonali a*,n, n = 0,    . p są - jak wynika z (2.152) - dodatnie. W konsekwencji

Cp = A-'A_/7' Podobnie mamy Cp ~ ^pA_r

Zależności (2.169) i (2.170) stanowią tzw. faktoryzację Choleskiego macierzy kowanancyjncj C_p oraz jej macierzy odwrotnej C~^l. Stąd wniosek, że algorytm Levinsona - niejako automatycznie - wyznacza implicite macierz odwrotną względem macierzy kowariancji, i to w postaci sfaktoryzowanej.

Uwaga: Przykład 7.2 w rozdziale 7 pokazuje implementację algorytmu faktory-zacji Choleskiego macierzy kowanancyjncj Toeplitza oraz macierzy względem niej odwrotnej, wraz z przykładowymi wynikami symulacji

Algorytm Levinsona a problem wybielania sygnału

Przypomnijmy, że dla scentrowanego.i mamy

c(£) — Ey(f)y(f - k) —► 0 gdy k —► oo

co oznacza, że każdy taki sygnał jc też

^v*>o 3^,) {k > k₀ => \c(k)\ < s)

a stąd wniosek, że każdy sygnał losowy można (z dokładnością do e) traktować jako sygnał o skończonym czasie skorelowania (wynoszącym ko). Załóżmy dla uproszczenia, że obserwowany przez nas sygnał jest sygnałem o skończonym czasie skorelowania, wynoszącym n; a więc

Przypomnijmy, że dla scentrowanego. czysto przypadkowego sygnału losowego mamy

(2.171)

co oznacza, że każdy taki sygnał jest asymptotycznie nieskorelowany Dlatego

też

(2172)

c(n -f j) - Ey(r)y(f - n - j) = 0 dla ; - 1.2,

(2.173)

53

IH

Rekurencyjne metody rozwiązania problemu prognozy

>*(')

Filtr

innowacyjny

e_n[t) = szum biały

Rys. 2.8. Filtracja innowacyjna sygnału y

oznacza, że e_n(t) jest szumem białym (dla sygnału o skończonym czasie skorelowania). Zatem mamy sytuację przedstawioną na rys. 2.8.

Biorąc pod uwagę, że

MO = ^fln.0y(0 + On,\>•(/ —!) + ■• • +"*./.)>(' ~ «)

zdefiniu jmy transmitancję filtru innowacyjnego jako

4,1 (?) = 0„_tOŻ° + 0n, | Z¹ + . • + Qn,n^

Wówczas mamy

W_t=\= \A„\²Wy

czyli

(2.181)

(2.182)

(2.183)

W_v =

A_nA,

= |4*|

-2

(2.184)

Stąd wniosek, że sygnał y(/) o widmowej gęstości mocy W_y, faktoryzowalnej w sensie (2 184). i o skończonym czasie skorelowania jest przekształcany przez lilii innowacyjny w szum biały Dlatego często w literaturze^'' innowacyjny jest nazywany również filtrem wybielającym. Dla sygnałów asymptotycznie me-skorclowanych sygnał innowacyjny e_n(t) dąży do szumu białego, gdy n > (czyli ze wzrostem rzędu filtru). Zatem pod postacią parametrów filtru innowacyjnego zostają „zakodowane” informacje o statystykach drugiego rzęt u ( wariancji lub - równoważnie - widmowej gęstości mocy) sygnału wejściowego filtru innowacyjnego. Wynika to z zależności (2 184) 1 implikuje 1 eę < \ n 7 5>7!/ezy sygnału, skoro filtr innowacyjny o transmitancj.    ^Sy‘

gnał o widmowej gęstości mocy W_y w szum biały, to szum biały podany na wejście filtru odwrotnego o transmitancji A_n ¹ będzie dawa na wyj.ciu syg . y(t). dla którego

(2.185)

W₉=W_y

55

54