13321 skrypt

13321 skrypt



Liniowa rtiognoza SnnPMiOKWADRATOWA sygnałówstacjonarnych


gdzie oznacza sprzężenie, zaś E - operator uśredniania probabilistycznego. Zauważmy, że jeśli f,g 6 7,2. to mamy \fg\ < j(|/|2-ł- |g|2) i w konsekwencji fg jest całkowalna, a więc iloczyn skalamy (2.30) jest określony poprawnie. Indukuje on normę


(2.31)


---phognozy

Zatem sygnał losowy Hi,berta można interpretować jako Tuny . na T, o wartościach w przestrzeni Hilherta L2    funkcję określoną

‘^y(t) = f{t,u)£L2


(2.36)


oraz metrykę


Mf.n) = \\f-g\|u = (/-«./-£)l= (/,!/(“)    =

= (EI/-SI2)1


(2.32)


Nierówność


epp{u : |f(u)-g(u)| >e}< JjfM ~ *(u)\2P(du)


(2.33)


implikuje zbieżność w 7,2{77,9I.//} według miary, a zupełność tej przestrzeni wynika z twierdzenia Ricsza (241 Niech {77/3?,//} będzie przestrzeni.'! probabilistyczny. której elementami są zmienne losowe.

Definicja 2

Przestrzenią Hilherta Li = 7,2{77,9?,/i} zmiennych losowych przestrzeni probabilistycznej {77,9?,/i) nazywamy zbiór zmiennych losowych y = fiu), u 6 77. dla których E|y|2 < co (innymi słowy - jest to zbiór zmiennych losowych o skon czonej wariancji).

Definicja 3

Dwie zmienne losowe x i y nazwiemy ortogonalnymi, jeśli


I


iako ogie daiszych

Definicja 5

Zbiór zmiennych losowych

...    , .    <2-37)

będziemy nazywać liniowo niezależnym ieilidla ka>H*on li ,

snwych    1 każdego układu zmiennych lo-

6(0.    .y(l-n)} , n = 0,l,...

oraz dla niezemwych skalarów

l"n-----«„} , ct^o, i = o,..

mamy

"<"    “W*'-") + «i-!,«) + ... + a„y{, -    = 0} = 0


(2.38)


(2 39)


(x,y)v = E.tv = o


(2.34)


(innymi słowy - ortogonalnośćscentrowanych zmiennych losowych oznacza ich nieskorelowanie).

Definicja 4

Sygnał losowy y(t), t 6 T nazwiemy sygnałem losowym Hilherta. jeśli


vf€7- {r£|.v(/)|2 < oo}


(2.35)


(240)

c(k) = (>'(')'>'(' k))v=Jiy('-u)yi<-CuMdu) = E>(/)y(f -*■)    (2.4

Uwaga 2: Nieskorelowanie zmiennych losowych, tj.

W* -    “*))« = Ey(f - i)y(t -k) = 0

nie oznacza liniowej niezależności tych zmiennych losowych.

Będziemy ^ “klndać. iż przestrzeń L,\1I,<%»} jest oiwdkowa. tj istnieje W mej przeliczalny zbiór liniowo niezależny (2.37) taki. że zbiór zmiennych losowych    J


1)


(2.42)


ZM'-')

i= I


(2.43)


24


Liniowa prognoza óredniokwadratowa sygnałów stacjonarnych


jest wszędzie gęsty w L2 (tj. zbiór {y(/ - /)}J10 rozpina przestrzeń /.2). Innymi słowy, zbiór (2.37) stanowi bazę przestrzeni 7,2{7it9?,/j}

Definic ja 6

Przez


Sf = span{y(tfy(f *)} , i < k


(2.44)


(gdzie span(♦} oznacza przestrzeń rozpiętą na elementach {♦}) będziemy rozumieć (k - i + 1)-wymiarową podprzestrzeń ośrodkowej przestrzeni Hilherta

/-2 = M«. 91,W-

Zauważmy, żc dowolny element podprzestrzeni Sq (2 44) (przy / - 0 i k n) wyraża się jako kombinacja liniowa elementów bazy tej podprzestrzeni


&


25


111S111H

___________________Postawieńie problemu prognozy

rozwiązania zagadnienia najlepszej aproksymacji tej zmiennej losowej w podprzestrzeni 5” (2.48). rozpiętej na n obserwacjach przeszłych tego sygnału. Innymi słowy, chodzi o wyznaczenie elementu yn(r) 6 S", leżącego w najmniejszej odległości (w sensie metryki (2.32)) od nieznanego elementu y(r); tj spełniającego warunek


dv{y{t),%{r))•= (E|>(/) -&(0I2)’ = miń Jeśli przypomnieć definicję błędu prognozy

*n(0 = v(0 ~M0


(2.49)


(2.50)


<P{‘)=’ŻM>-i) = FY'

i-0

gdzie

E = [/o.../n] , Z = (y(/) •■•}•(/ -n)|


(2.45)


(2.46)


a * oznacza transpozycję Hermitowską. Iloczyn skalarny elementów rp(/) i «//(/) wyraża się. zgodnie z (2.30) oraz (2.41), jako

(9(0.V'(0)« = 'JEv(/)v*(ł) = i;i;./iE{y(/ • i)y(i k)}gk~

1=0 A =0


%


to warunek (2.49) jest równoważny wymaganiu minimalizacji normy wektora błędu

IM«)l|u = (*to»M'))ł = (E|s„(/)|2)i=mm    (2.51)

czyli warunkowi minimalizacji błędu średniokwadratowego Hrn (2.16), identycznie jak w metodzie algebraicznej.

Istnienie i to jedynego elementu y„(f), spełniającego warunek (2.49) lub równoważnie (2.51) zapewnia twierdzenie o najlepszej aproksymacji (45). Mówi ono.

że

%.(r)€5; {VP-(/)ę5;.9„(/)^y„(/) =* IM*)    > M-M    (2'^


= Z Z/'c(*-')«* =

/=0t=0

= F E{ f*Z) G* = FCG*


£


(2.47)


gdzie C — E{) ’)'} jest macierzą kowariancyjną sygnału y, występującą w zależności (2.28). Rozważmy obecnie //-wymiarową podprzestrzeń

Sn\=span{y(t- I),...,y(t -/*)}    (2.48)

rozpiętą na /i-krokowej przeszłości (względem chwili /) obserwowanego sygnału losowego y. Załóżmy, że nieobserwowana zmienna losowa y(t) jest liniowo niezależna od obserwacji przeszłych y(t - I),..., y(tn): tojest z jednej strony > (r) £ .Vf, z drugiej y(f) € 55.

Problem prognozy zmiennej losowej y(t) - postawiony w poprzednim podrozdziale metodą algebraiczną - w kontekście geometrycznym sprowadza się do


przy czym

MO=j(0-*.(')-L-Si

Ponadto z twierdzenia tego wynika, że yn(t)^P(S!)y(t) 6 5?


(2.53)


(2.54)


gdzie P(S) oznacza operator projekcji ortogonalnej na przestrzel * sek. żc optymalny estymator yn(t) zmiennej losowej y(f) dokonując projekcji ortogonalnej elementu y(t) na podprze! irz ,. matycznie pokazano na rys. 2.7.

Zauważmy, że

MO =y(0-i’.(0=>(0-^.,Wf) = (/-,,CTW0 =

= />(5o©'57M,) = />f(5ii)J'Wr) 1 ^


26


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
29728 skrypt Liniowa prognoza średniokwadratowa sygnałów stacjonarnych drugiego rzędu NiccIi y
85715 skrypt Liniowa prognoza Arponiokwapratowa sygnałów stacjonarnych 72 Biorąc poci uwagę (2.206)
76490 skrypt Liniowa prognoza ŚREDNIOKWADRAtowa sygnałów s ta ci on a on^ch REKIjngMCyjMF. METODY R
skanowanie0003 (189) IS Algebra liniowa Kolokwium 1 (grupa 2): 1. Niech S := {z € C;
Wskaż prawdziwe własności sygnału okresowego o okresie J , gdzie [R,Z oznaczają odpowiednio zbiór l
wskaż prawdziwe własności sygnału okresowego Wskaż prawdziwe własności sygnału okresowego o okresie
Wskaż prawdziwe własności sygnału okresowego o okresie J , gdzie (F^Z oznaczają odpowiednio zbiór l
Wskaż prawdziwe własności sygnału okresowego o okresie J , gdzie (F^Z oznaczają odpowiednio zbiór l
Wskaż prawdziwe własności sygnału okresowego o okresie J , gdzie (F^Z oznaczają odpowiednio zbiór l

więcej podobnych podstron