skrypt

Liniowa prognoza ^rfoniokwadratowa svqna»ów stacjonarnych

Wprowadźmy obecnie rodzinę pod przestrzeni

Ufkspantf.....z*} , .' = 0,!,..    <<*

i rozwoźmy podprzestrzeń (Jq =span{z°,..._}2ⁿ]

(2.71)

(2-72) Ą

której elementami są wielomiany zmiennej zespolonej z

<P(z) =/₀r° 4-/i z¹+.. + /**"    ^{(2 73)}

Iloczyn skalamy elementów <D(zJ i T(r) wyraża się. zgodnie z (2.67). jako

dO

(2.74)

Izomorfizm Kolmogorowa

Przestrzeń zmiennych losowych L₂{U,%p) ■ przestrzeń wielomianów Lą(T\ sn - na mocy izomorfizmu Kolmogorowa [8] - izomorficzne jako przestrzenie Hilberta. Oznacza to. że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiednio^ mię dzy elementami

y(f -1)    zł , / = 0,1,...

Ponadto z odpowiedniości

y(r -')+->

y(t-k)    z*

wynika, że

y(t -<•)+}’('-*) <->• **+**

ay(/-A) <-ł oz*

gdzie    lub C. W konsekwencji

ę>(/) = X /tfft ~ O ^(^r) ⁼ 1-»=o    '=°

(2.75)

(2.76)

(2.77)

(2.78)

--------Postawienie problemu prognozy

Zauważmy, że korzystając z (2.67), (2.63) oraz z (2.47). mamy

(Z.z*)*/ = f _e;‘°    — ₌ f _e-m-l)0_W( ;<>,</£ _

2/r    '    2^

= ^c(* - O = (yl< - 0,y(r - *))«

co pociąga za sobą zgodnie z (2.74). (2.73). (2.66) oraz (2.47)

(<P(ż),y(z))_w = r <fi(e'^<’)W(^⁰)>P(«_ri⁸)^ ₌

2;r

(2.79)

" ⁿ    ff

= LTfi-

1=0k-o J -

r0*=0

= X Z/r#-i)|* = 1=0*=o

= FCG* = (ę)(0i v(0)« Stad wniosek, że

ll®Wllw=M0llii

a w konsekwencji (/_7ł/(‘I^>(z),^vP(z)) = d_łi(łp(r), i/t(t))

Z 7T

(2.80)

(2.81)

(2.82)

W ten sposób pokazaliśmy, że między przestrzeniami L₂(T) a L_}{ Zl.W.p} istnieje izometria (2.82). W konkluzji możemy zatem stwierdzić, że przestrzenie te są izomorficznie izometrycznc.

Zauważmy, żc na mocy (2.75). reprezentantem Kolmogorowa teraźniejszości y(t) € Li{ V, 9?.//} jest element z° = I €lsi(T).ty

y(/)    z° = I    (2.83)

Dalej, biorąc pod uwagę (2.75) dla / = I_____n. (2.77) oraz (2.78). mamy

57 = span{y(t- 1).. ,y(f - n)} <-*    .....f)    (2.84)

tj. reprezentantem podprzestrzem (2.48) rozpiętej na (n-krokowej) przeszłości sygnału y jest podprzestrzeń wielomianów zmiennej z (stopnia n). Analogicznie

32

ffBBBBBBEBBBBISlll

Liniowa prognoza śreoniokwadrafowa sygnałów stacjonarnych

z (2.83), (2.84), (2.78) oraz (2.79) wynika, że w omawianym izomorfizmie reprezentantem Kolmogorowa estymatora %{t) (2.56). minimalizującego normę IMOHu błędu (2.55). jesl wielomian    X

A_H(z)4p(C/f)z°=.ai»^ • *,*" €l/f    (2.85)

lj-    ^:&

Mt) = rW)y{,) C.S7 <-+ A„(z) = P({/")r° 6 U"    (2.86) lf

pt7.y czym. na mocy (2.81) i (2.82), wielomian ten minimalizuje normę ||A_aJ|^ błędu    /.>

Przestrzeń £2 wektorów współczynników

33

Postawienie proriemu prognozy

Przestrzeń £2 jest ośrodkow ą przestrzenia Hilberta nieskończonych ciągów ska larów /o,/,,... takich że

MO = P(USQU?)z° = P((Ul)^l)z° = I -A„(z) = = I ■z° + fl|Z^l + K/f

«2,„ |

CU. 1

wielomianowej aproksymacji elementu — I w podprzestrzem L/[V W końcu reprezentantem wektora błędu e_n(r) (2.55). jest wielomian (2.87), czyli mamy

•£3§śl

^(0 = /⁵((57)¹)y(0X57 A_r,(r) = A>((GD¹)z⁰l^    (2.88)

W len sposób, dzięki izomorfizmowi Kolmogorowa. pokazaliśmy żc problem estymacji stochastycznej w przestrzeni zmiennych losowych    jest & i

równoważny deterministycznemu problemowi aproksymacji wielomianowej w przestrzeni Lii?). Zauważmy, że warunki oplymalności wielomianu aprok- ^rK symująccgo A„(?) wynikają analogicznie, jak poprzednio z ortogonalności błędu aproksymacji A„(z) względem podprzestrzeń i Uf i w konsekwencji sprowadzają się do jednoczesnego spełnienia układu równań

Ll/<l² < »

i-0

Rozważmy bazę naturalną tej przestrzeni

e(i) = [0 .0^0...] 1 = 0.1,...

i

Zatem

£2 = J/wn{e(0),e(l),... } i dowolny element tej przestrzeni wyraża się jako

F = f>(,) = Z/[0 -0^0. .] =

1=0    i—0    f

= Z(0. .0 /, 0...] = [/o/i- )

»=0

(2.91)

(2.92)

(2.93)

(2.94)

(MO.**)***© A:= a błąd aproksymacji wyraża się jako

K.U)_tl),e=||A_n(r)||,e

(2.89)

(2.90)

Jesl przy tym oczywiste - na mocy izomorfizmu Kolmogorowa - że warunki (2.89) oraz (2.90) są równoważne układowi równań (2.60) i (2.62). a w konsekwencji układowi lównań normalnych (2.28).

W przestrzeni ^2 wprowadza się standardowo iloczyn skalamy jako

_t    A _r,._f., j I gdy A = i    (2.95)

(•W.«(*))/= •W® (*) = (o gdy kjŁi

Wówczas układ elementów («(/))"₀ ^s,anowi haz( ortonormalną (ON) przestrzeni (₂. Stąd i z (2.94) wynika, że

{r,G)t = FG’ = £/,<?,

1=0

oraz

ll^Hr = (F\F)J = [ZWI²)

(2.96)

< co

34