33662 skrypt

LIN>QWA PROGNOZA ŚnEPNIOKWAPRATOWA SYGNAIÓW STACJONAHNYCH Stąd wniosek, źe

l.ju irmvn»m ----

rozwiązanie problemu prognozy śrcdniokwadratowcj, wynikające z twicrdzc-7~1 nia 4. stanowi rckurencyjną inclodę rozwiązania zagadnienia ortogonalnej 1 aproksymacji odpowiedzi impulsowej filtru prognozującego;

• rozwinięcie ortogonalne (2.308) jest iworzonc na podstawie zbioru ortonor-... mnlnych wektorów f(0. O    otrzymanych w wyniku ortogonalizacji*

Grama Schmidta bazy naturalnej {e(/')}"₀ (względem macierzy knwnrian-/"' cyjncj Toeplitza sygnału y); stąd wniosek. Ze odpowiedz impulsowa optyy, malnego filtru prognozującego jest dopasowana do statystyk rzędu drugiego?' sygnału y (jako, Ze każda zmiana jego kowariancji powoduje zmianę odp£; wiedz.i impulsowej filtru optymalnego);

współczynniki Schura, identyczne co do wartości jak w przypadku estymatora prognozy (2.250). stanowią reprezentacje ortogonalny odpowiedzi impulsowi wej optymalnego filtru prognozującego w podprzcslrzem Vjⁿ

[7-----—    '

Komentarz

W niniejszym podrozdziale przedstawiliśmy rekurencyjne rozwiązania prob-t*?' Icmu optymalnej (Srcdniokwadratowo) prognozy liniowej stacjonarnych sygna-j?^ lów losowych drugiego rzędu, przy użyciu metody geometrycznej Omawiane jjr zagadnienie rozważyliśmy w trzech izometrycznie izomorficznych przestrze-’^:

niach Hilhcrta;    ' ■< ’

*■

•    w przestrzeni LziU.W.p) określonej na przestrzeni probabilistycznejj*; f 11,9ł,//}. której elementami są zmienne losowe, stanowiące obserwacje sy-ji_:

gnalu losowego y;

•    w przestrzeni Li(T) funkcji zmiennej zespolonej z, całkowalnych z kwadratem na okręgu jednostkowym T względem funkcji wagowej będącej wid- “ mową gęstością mocy czysto przypadkowego sygnału losowego y;

•    w przestrzeni fj wektorów współczynników, sumowalnych z kwadratem względem macierzy kownrinncyjnej (Toeplitza) wspomnianego sygnału y

Pokazaliśmy, żc dzięki izomorfizmowi Kołmogorowa wymienione rozwiązania są równoważne, ich interpretacja zaS jest następująca    i

•    w pierwszej przestrzeni otrzymujemy rekurencyjne rozwiązanie problemu sto

chastycznej estymacji nieobserwowanej zmiennej losowej, stanowiącej war-to.Sć sygnału losowego y w chwili bieżącej, na podstawie znajomości zmień- 8 nych losowych, opisujących przeszłość lego sygnału.    j I

rtCKuneiiCYjMr: me ropy rozy/iątai-iia problemu Pnoonozy

•    w drugiej przestrzeni uzyskujemy rozwiązanie problemu deterministycznej ortogonalnej aproksymacji wielomianowej transmitancji optymalnego filtru prognozującego.

•    w trzeciej przestrzeni rezultatem jest rozwiązanie zagadnienia (również deterministycznej) aproksymacji ortogonalnej odpowiedzi impulsowej tego filtru optymalnego.

Wykazaliśmy, że do rozwiązania każdego z tych problemów wystarczająca jest znajomoSó statystyk 2-go rzędu obserwowanego sygnału (tj funkcji kowariancji - w dziedzinie czasu, lub widmowej gęstoSci mocy - w dziedzinie transformat), wykorzystywanych do ortogonalizacji (Grama-Schmidta) baz w każdej z przestrzeni i w rezultacie otrzymania rozwiązań w postaci rozwinięć ortogonalnych (tj rozwinięć Fouriera), w których współczynniki Fouriera są równoważne tzw. współczynnikom Schura.

Współczynniki Schura. mające kluczowe znaczenie - jak pokażemy w dalszej częSci - dla rozwiązania szerokiej klasy zagadnień filtracji optymalnej (w tym filtracji innowacyjnej i parametryzacji sygnałów, filtracji modelującej i cyfrowej syntezy sygnałów, filtracji odszumiającej) można interpretować jako iloczyny skalarne wc wspomnianych rozwinięciach ortogonalnych.

Wykazaliśmy również, żc z uwagi na fakt, iż. parametry filtrów (tj współczynniki Schura) wyznacza się na podstawie statystyk drugiego rzędu sygnału -otrzymane filtry są dopasowane do tych statystyk sygnału w sensie takim. iż. każdorazowa zmiana tych statystyk implikuje zmianę parametrów (tj. transmitancji lub odpowiedzi impulsowej) filtrów

Przedstawione algorytmy zostaną w następnym rozdziale wykorzystane do prezentacji ortogonalnych realizacji filtrów optymalnych o strukturach kaskadowych. w których poprawa jakości estymacji/aproksymacji (uzyskiwana na drodze rozbudowy struktury filtru) wymaga jedynie dołączenia nowych sekcji filtru, bez konieczności zmiany uprzednio wyznaczonej struktury i jej parametrów (współczynników Schura).

W kolejnym rozdziale omówimy zagadnienie filtracji innowacyjnej (tj. ortogonalnej parametryzacji) i filtracji modelującej (tj. cyfrowej syntezy) stacjonarnych sygnałów losowych 2-go rzędu, wykorzystując algorytmy stanowiące przedmiot rozważań niniejszego rozdziału.

icciiiiiikiiiiiin

Ortogonalne filtry prognozujące o strukturze kaskadowej

JOBTOGONALNE REALIZACJE ALGORYTMÓW PROGNOZY OPTYMALNEJ

• ortogonalnej filtracji odszumiającej. będących przedmiotem kolejnych rozdziałów.

3.1. /-ortogonalne realizacje algorytmów prognozy optymalnej

..idi

W kolejnych punktach niniejszego podrozdziału przedstawimy tzw. J-ortogo-nalne realizacje optymalnych (średniokwadratowo) liniowych filtrów prognozujących. wynikające bezpośrednio z algorytmów rekurencyjnych rozwiązań tego problemu, wyprowadzonych (metodą geometryczną) w poprzednim rozdziale.

II

Przedmiotem rozważań niniejszego i kolejnych rozdziałów są tzw cyfrowe ortogonalne filtry optymalne [5, 6. 8. 10], Filtry te. stanowiąc cyfrowy odpowied- ] nik klasycznych filtrów bezstratnych, charakteryzują się bardzo pożądanymi 7 właściwościami:

>    samorzutną stabilnością numeryczną,

>    małą wrażliwością na błędy zaokrągleń.

i

Ponadto cechą omawianych filtrów jest ich modularna struktura, wygodna do realizacji w postaci wieloprocesorowych układów VLSI 11 ]. wykorzystujących, przetwarzanie równolegle i potokowe. Wymienione cechy sprawiają. Ze ortogo-j, nalnc cyfrowe filtry optymalne stanowią jeden z centralnych punktów zninlere"J; suwania i rozwoju współczesnej teorii i algorytmów cyfrowego przetwarzania j sygnałów losowych

W niniejszym rozdziale skoncentrujemy uw agę na ortogonalnych filtrach próg-' JJ Dozujących o strukturze kaskadowej, wynikających bezpośrednio z lekiucncyj- £ nych metod rozwiązania zagadnienia liniowej prognozy średniokwadratowej. przedstawionych w poprzednim rozdziale. Przedstawione dalci rozważania sta-jjeł nowią interpretację algorytmów (2.227), (2.275) oraz (2.303).

Wyniki przedstawione w tym rozdziale stanowią podstawę do sformułowania i rozwiązania zagadnień:

•    ortogonalnej filtracji innowacyjnej (ortogonalnej parametryzacji) sygnałów stacjonarnych 2-go rzędu.

•    ortogonalnej filtracji modelującej (ortogonalnej cyfrowej syntezy tych sygna- _Ł i

łów),

$

3.1.1. Przestrzeń L₂ {1L '.>{,7/} (estymatorów optymalnych)

Przepiszmy zależność (2 227). określającą rekurencyjne podwyższanie rzędu n -> n -f 1 unormowanych błędów prognozy w przód i w tył, w następującej postaci:

«<■+■(') = (I -p_n²+l)'i[e„(r) + p_n+ir„(r- I)]    (3.1)

^r»+l(0=0 ^— Pn+l) ^[P»+l^e»(0 +ór(f- 1)]    ⁽³²>

i zauważmy, że do wyznaczenia błędów rzędu n + I jest wymagana znajomość błędu w przód e„(t) oraz błędu w tyl r_n(t I), umożliwiająca wyliczenie współczynnika Schura (2.231)

(3.3)

Ponieważ wynikiem poprzedniego kroku (tj. n-l-wi) było wyznaczenie wielkości «•„(;) oraz /•„(/) (zgodnie z (3.1) i (3.2) przy n zamienionym na n- I). zatem - w celu uzyskania inicjalizacji r„(t - I) w kroku n —> n+ I jest niezbędne zastosowanie operatora opóźnienia 'V. pokazanego schematycznie na rys. 3.1, gdzie x(t) oznacza wartość sygnału w chwili t. Zakładając, że istnieje transformata Z tego sygnału, oznaczmy

X(z) = X, *(')/ = ^z(^x)

(3.4)

82

83

#1