skrypt

36

Liniowa rwpONOZA śhepniok wadhatowa sygnałów stacjonarnych__

metryka zaś indukowana przez (2.96) wyraża się jako

dĄFG) = ||F - G||r = (F - G, F - G)j = \f

(2.98)

Określmy obecnie rodzinę (k- i-f 1)-wymiarowych podprzestrzeni Vt^k prze-		.i
strzeni zdefiniowanych jako		i
V* 4 {a(i),. -, a(£)) . / = 0, I,... , k < i	(2.99)	w
i rozważmy podprzestrzeń
P0"-.v/>u/i{e(0)....,e(rt))	(2.100)	■f
której elementy wyrażają się (zgodnie z (2.94)) jako		TT.
F = £/f6(.) = £/•[(>...0^0...0] =
r=0 i=0 i
= 2P - 0 fi o...o] = [/o/i.../,! /=o	(2.101)

Niech C oznacza dodatnio-pólokreśloną macierz (wymiaru (n+ I) x (n + I)). Wówczas w przestrzeni (2.100) możemy wprowadzić ważony iloczyn skalarny

(_e(/),₉(*))_c=a(/)CV(*)    (2.102)

gdzie C jest macierzą wagową. którą może być przykładowo macierz kowa-riancyjna C = (c(* - i)]_a=0... „ stacjonarnego sygnału losowego, występująca we wzorze (2.28). W przestrzeni z ważonym iloczynem skalarnym (2.102) elementy {q(/)}”_o nadal tworzą zbiór liniowo niezależny (tj. bazę naturalną), lecz nie muszą już stanowić zbioru ON. Wynika to z faktu, że

(e(i)'*(k))c=e(i)Ce'(k)=c(k-i)

(2.103)

Zauważmy, że warunkiem na to. aby elementy te tworzyły nadal zbiór ON. jest C = / (gdzie / oznacza macierz, jednostkową); tj aby

c(k

dla k = /, dla k ź i

(2.104)

CCCCCI8IB

Liniowa prognoza śreoniokwadratowa sygnałów stacjonarnych Biorąc pod uwagę (2.103) oraz (2.79). mamy

MO. ®(*))«h' = e(i)CG*(/c) = c(k- i) = Ey(t - i)y(t - k) =

= I" e~^^k~‘^^eW(e^,e)^<~ —

J — K    2 K

= r e>^ie lV{e^J0) (?>*») —

J-TC    2 71

co pociąga za sobą

M'-'). ?('-*)) V = (z',z*)7P = (e(t),9(A:))_c Zatem z (2.112), (2.105) oraz z (2.80) wynika, że

(F,G)_C = FCG* = Hfrc(k-i) g_k = E<p(t)y(t) =

i=04=0

1=04=0    ^J~^n    Ln

= iifrr^W^)e-^ę._gt^

i=0Je=0    ^J~*    ¹⁷¹

= f <I>(^ⁿ)lV(^⁸)'l'(^^fl)--

J-n    2 K

Stąd wniosek, że

(«>(0.V'('))tJ = (<I';(z),'l^,(z))_H,= (F,G)_c oraz

IM0IIt/=|I'I>(z)I|.m' = I|f||_c

i w końcu

^du(<p{t), V'($) = d_iv(a)(z), ^vF(z)) = d_c(F,G)

(2.112)

(2.113)

(2.114)

(2.115)

(2.1 16)

(2.117)

a więc między przestrzeniami L₂{'U,91,//}. L₂(T) oraz istnieje izometiia. Zatem, przestrzenie te są izomorficznie izometryczne. Zauważmy, że z ośrod-

--__--Postawienie pboblemu p_Roaunn

Warunki (2.104) hę,,, spełnione, je«li C będzie macierz, kowariancvinn białego. Z (2.101) i (2 103) wynika. Ze iloczyn skalamy dowolnych e|"n ,7’

przestrzeni (2.100) będzie wyraZ.nl się jako    ych elementów

(iscc-rar-i*.. /.) _; ..

-i»> J U.

Iloczyn skalarny (2.105) indukuje normę

M_c = (F,F)ł=₍rcc*)[>o    ₍₂₁₀₆₎

^VJ,T^:^^P~^{<Ć 0kreile}"'^{a no}™y G-m "ynika, jak widać. z dodatnie,

półokreśloności macierzy wagowp.j ('.    ^

c(0) .	■ c(-n)“	’lo'
c(n) .	c(0)	.In

Indukowana metryka to

<WC) = (F-G.F-G)!.

Izomorfizm przestrzeni Z.₂{?/,9?,//},L₂(T) oraz t₂

(2.107)

Pokazaliśmy wcześniej, że przestrzenie L₂{    i L₂(^tT) są izomorficznie

izometryczne. na mocy izomorfizmu Kołmogorowa. Obecnie rozszerzymy ten izomorfizm na przestrzeń i₂. Zauważmy, że

y(t-i) <-> z' <-> _Q(,) , , = 0,1____

Dalej, z od powiedli i ości

y(r-i) <—>■ z' > e(i) y(t -k) z^k <-» e(&)

mamy

y(f - i) -ky(r - k) ay(t-k)

r* -I- z* <—y a(i) 4- &(k) ■^£—> ae(k)

(2.108)

(2.109)

a7"    (—v naih\    (2.110)

gdzie a jest skalarem (rzeczywistym lub zespolonym). Z (2 110) wynika, że

<P(‘)=Y_Jfy('-‘) <-+ <t>(z) = Y_jf,z' F = [/(,.../„)    (2.111)

i—0

37

Postawienie problemu prognozy

kowości rozważanych przestrzeni oraz ich izomorficzności wynika wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość przeliczalnych zbiorów wszędzie gęstych

j<p(0=lA>'('-/)J <->    =    «-+ {F=[/i](=o,..,.} (2.118)

jak również, że z (2.108) wynika, iż reprezentantem teraźniejszości v(r) w przestrzeni zmiennych losowych L₂{    są, odpowiednio, elementy z° = I

w przestrzeni L^T) oraz. e(0) w przestrzeni f₂. tj. mamy

y(t) <-> z°=l <-v e(()) = [l 0 ..()] natomiast, na podstawie (2.110), otrzymujemy .97 <-y W; 4-v Vjⁿ

(2.119) i iii

(2.120)

co oznacza, że reprezentantami podprzestrzeni rozpiętej na (/i-krokowej) przeszłości w przestrzeni zmiennych losowych są. odpowiednio, podprzestrzeń wielomianów (stopnia n) zmiennej z oraz podprzestrzeń (n-wy miarowych) wektorów współczynników. Stąd wniosek, że reprezentantami (optymalnego) estymatora (/) zmiennej losowej y(t), minimalizującego noimę ||cn(0 IIu błędu estymacji e„(r) = y(t) - y(t) w przestrzeni 1.₂{Usą odpowiednio wielomian A_rt(z) (2.85) w przestrzeni L_Z[T) oraz wektor współczynników

A„ 4 P(yf)e(0) = £:Oi®(0 =£«, - •«"] ^ę vi

/= i

(2.121)

w przestrzeni E₂\ tj. mamy

MO =    f->

(-> A „(z) = P(U?)z° 6 U" *-* A„ = P(V,")9(0) 6 V,

przy czym A„ minimalizuje normę ||/l_n||<T

= p(vsevn°(o) =    = ¹ - a. -t^1    il" ⁽²¹²³⁾

(gdzie a, = -«„ < =1.....») aproksymacji ciernemu .(0) za pomocą wek.om

współczynników A_n- Zatem

. i \/ⁿ    (2.124)

e„(r) ± 57 <->    ^

38