43576 skrypt)

Liniowa cyfrowa filtracja odszumiająca sygnałów

(5.1)

n(r)

Rys. 5.1 Idealna filtracja odszuminjaca

n(t)

RYS. 5 2

cjonujące, jeśli estymator ią(r) będzie „bliski" sygnałowi źródłowemu x[t), wedle przyjętego kryterium dokładności aproksymacji Równoważnie, dotyczy to dokładności aproksymacji nieznanego operatora J za pomocą operatora JĄ. gdzie obydwa operatory są określone na tej samej przestrzeni Hilbeita (określonej na przestrzeni probabilistycznej rozpiętej przez obserwowany sygnał losowy

y(0>-

(5.7)

gnał zakłócający /*(/) jest zazwyczaj nazywany szumem (choć nie musi on mieć charakteru „szumu” w dosłownym słowa tego znaczeniu). W wyniku obecności sygnału n(t) w kanale sygnał y(/), pojawiający się po stronie odbiorczej, jest złożeniem sygnału źródłowegox(r) oraz szumu /i(r)

y(0 = .r(0O"(0 łidzie O oznacza operację złożenia sygnałów ,t(r) i n(r). Operacja la może być addylywna. multiplikalywna itp. W dalszych rozważaniach przyjmiemy naj- u prostsze, a jednocześnie słuszne w większości przypadków w praktyce założenie, że złożenie sygnałów x(l) i n(r) jest addytywne. tzn obserwowany sygnał y(r) jest sumą sygnału źródłowego,t(r) oraz szumu n(t)

y(l)=x(t) + n(l)    (5.2) •'

t

Stąd wniosek, że obserwowany sygnał y(t) jest znów losowym sygnałem stacjonarnym (2-go rzędu).

Zadaniem, jakie stawia się filtracji odszumiającej. jest eliminacja sygnału niepożądanego n(t) z sygnału obserwowanego y(r), czyli „odzyskanie" po stronic odbiorczej (nieobserwowanego) sygnału źródłowego r(r) Rozwiązanie tego problemu sprowadza się więc do zaprojektowania urządzenia, zwanego filtrem odszumiąjącym. realizującego opisaną wyżej operację odsztimiania sygnału y(l). Rozwiązaniem dokładnym tego problemu byłby filtr odszutniający. opisany pewnym operatorem 'f, na wyjściu którego pojawiałby się sygnał źródłowy *(r). przy pobudzeniu tego filtru sygnałem zaszumionym y(r)

(5.3)

Filtr ten można nazwać idealnym filtrem odszumiąjącym. jego zaś działanie schematycznie przedstawia rys. 5.1. Ponieważ, jak wspomnieliśmy, operator '/ jest a priori nieznany, musimy przyjąć założenie, że należy on do pewnej klasy operatorów (liniowych, nieliniowych - stopnia drugiego, trzeciego itd ), analogicznie jak w problemie prognozy Wówczas, wybierając element .7 z tej klasy

— ■ ^wocumiAJĄCEJ

operatorów, możemy wyznaczyć estymator sygnału źródłowego ?a(t). stanowiący rezultat działania operatora Pi na sygnał obserwowany y(r)

-MO = -%(')]    (5.4)

W ten sposób uzyskujemy aproksymacyjne rozwiązanie problemu filtracji od-szumiającej, zaś działanie operatora PI możemy schematycznie przedstawić na rys. 5.2. Rozwiązanie aproksymacyjne rozważanego problemu będzie satysfak-

Wprowadzając błąd estymacji

=    (5-5)

rozwiązanie nazwiemy optymalnym, jeśli błąd (5.5) zostanie zminimalizowany (według przyjętego kryterium) Przyjmując kryterium średniokwadratowe i definiując błąd średniokwadratowy filtracji odszumiającej

R^E^r))²    (5.6)

powiemy, że f a(r) jest optymalnym (średniokwadratowo)estymatorem sygnału

jc(r), jeśli jest spełniony warunek

R).i = min

w-' >

Wymóg (5.7) możemy równoważnie traktować jako warunek optymalności śred-niokwadratowej aproksymacji operatora T za pomocą operatora JĄ (jeśli operatory te są określone na tej samej przestrzeni probabilistycznej) Sytuację tę ilustruje rys. 5.3.

116

((itiiEśssmiiii

LINIOWA CYFROWA FILTRACJA OOSZUMIAJĄCA SYGNAŁÓW

RYS. 5.3. Optymalna (średniokwadratowo) filtracja odszumiająca

(5 8)

(59)

mini (Rj)

© — - - minj {/?(,}

Zauważ.my. że przy ustalonym sygnale źródłowym i(r), ustalony m szumie n(t)j ^; a w konsekwencji przy ustalonym sygnale obserwowanym v(r), błąd średniokwadratowy R\ zależy jedynie od operatora 7 Zatem rozwiązanie problemu filtracji odszumiającej sprowadza się do wyznaczenia operatora 7. minimalizującego błąd średniokwadratowy R\ Ponieważ operator .7 opisuje działanie filtru odsżumiającego, jest to równoważne wyznaczeniu parametrów tego filtru, minimalizujących wspomniany błąd średniokwadratowy Filtr ten nazwiemy optymalnym średniokwadratowo.

Przed przystąpieniem do rozwiązania tak postawionego problemu optymalnej (średniokwadratowo) filtracji odszumiającej, należy odpowiedzieć na pytanie, do jakiej klasy ma należeć operator .7, aby została uzyskana wymagana doklad ność filtracji (lub aproksymacji operatora T). Z teorii systemów nieliniowych klasy Volterry-Wienera wynika, że w przestrzeni operatorów ciągłych, wielo miany funkcjonalne Volierry (2.10) tworzą zbiór wszędzie gesty (tj iirzcstr/eń ta jest ośrodkowa i przy użyciu wielomianów funkcjonalnych Volterry można dowolnie dokładnie aproksymować każdy operator J) 151, 53, 41, 21,41.49).

Naturalne jest jednak - ze względu na bardzo szybko rosnący stopień komplika cji operatora aproksymującego 37 - przyjęcie najprostszego wielomianu Unik cjonalnego Volterry, którym jest operator liniowy JĄ = I, (2.7), Jeśli doklad ność aproksymacji, wynikająca z użycia operatora liniowego jest wystarczająca (czyli wartość odpowiadającego mu błędu średniokwadraiowego A’j jest odpowiednio mała), oznacza to. ż.e oficrator liniowy L jest dobrym modelem operatora '/, Jeśli uzyskany rezultat jest wciąż niezadowalający, należy stopniowo komplikować operator JĄ. przyjmując kolejno wielomiany funkcjonalne Volterry stopnia 2, 3 itd. (wzory (2.8)-(2.9)), analogicznie jak w problemie pro gnozy optymalnej, omówionym w rozdziale 2.

POSTAWIFMIF OR081FMU FILTRACJI OOSZUMIAjąCEJ

llwaga: Jeśli obserwowany sygnał y jest sygnałem o gaussowskim rozkładzie gęstości prawdopodobieństwa, najlepszym możliwym filtrem średniokwadrato-wym jest filtr liniowy, podobnie jak w zagadnieniu optymalnej prognozy śred-niokwadratowej Jeśli obserwowany sygnał jest niegaussowski. jego filtracja liniowa stanowi jedynie pierwszy krok w optymalnej filtracji nieliniowej, gdzie poprawa dokładności estymacji rośnie ze zwiększaniem stopnia nieliniowości filtru JĄ. dzięki wykorzystywaniu statystyk sygnału rzędów wyższych niż dwa.

W mniejszym rozdziale rozważymy najprostszy problem liniowej, optymalnej średniokwadratowo filtracji odszumiającej stacjonarnych sygnałów 2-go rzędu Przyjmując, że operator JĄ jest operatorem liniowym, mamy

*ż(')=4y(')]

i problem liniowej filtracji odszumiającej ilustruje rys 5.4, gdzie

*ł = E(£ł('))²

n(r)    X(r)

I-1    I.

*?(')

Rys 5 4    Optymalna (średniokwiidratown) liniowa filtracja orlszumiająca

Zgodnie z poprzednimi wnioskami, zadaniem naszym jest lulaj wyznaczenie operatora liniowego Z., minimalizującego błąd średniokwadratowy ffj W lym celu przyjmijmy, że rozważany operator liniowy opisuje działanie przyczynowego i stabilnego filini liniowego o stałych parametrach i skończonej długości odpowiedzi impulsowej, równej (n-b 1) Operator laki oznaczymy przez L„ Wówczas mamy

= = <^S10>

i=0

gdzie podwójne indeksowanie współczynników filtru af_ui jest uzasadnione identycznymi powodami jak w zależnościach (2. l31)-(2.135), omówionych w podrozdziale 2.2.1 przy wyprowadzaniu rekurencyjnego rozwiązania problemu pro-ono7v 7a nomoca aleoryimu Levinsona.

118