34799 skrypt1

LINIOWA CYFROWA FII.Tn^CJA OOSZUMIA.IĄCA SYGNAŁÓW .

•    kowariancji wzajemnej c_xv(k) nieobserwownnego sygnału źródłowego v(r) i obserwowanego sygnału zaszumionego y(f).

•    autokowariancji c(k) obserwowanego sygnału zaszumionego y{t)

Wyliczenie wartości błędu .<redniokwadra(owcgo R'„ wymaga ponadto znajomości wariancji (tj. mocy) c_u(0) sygnału.r(t). Stad wniosek, że do rozwiązania problemu liniowej Optymalnej filtracji odszumiającej jest wystarczająca znaio-mość statystyk rzędu 2-go rozpatrywanych sygnałów.

Układ równań (5.25) można rozwiązać zarówno metodami klasycznymi, jak też w sposób rekurencyjny (np. za pomocą algorytmu Levinsona) Tutaj przedsta wimy ortogonalne rozwiązanie geometryczne problemu filtracji odszumiającej, wykorzystując wyprowadzone w poprzednich rozdziałach algorytmy liniowej prognozy średniokwadralowcj, W len sposób otrzymamy ortogonalną realizację optymalnego filtru odszumiającego.

5.2. Geometryczne rozwiązanie problemu filtracji odszumiającej

W macierzy kowariancyjnej we wzorze (5.25) możemy wyróżnić podmacierz kowariancyjną (Toeplitza) obserwowanego sygnału zaszumionego v(r) Podmacierz ta stanowiła punkt wyjścia do rekurencyjnego rozwiązania problemu liniowej prognozy średniokwadratowej Nasuwa to przypuszczenie, ze uprzed nio otrzymane rozwiązanie wspomnianego problemu prognozy może być po mocne w rozwiązaniu zagadnienia filtracji odszumiającej Wniosek len znajduje potwierdzenie w niniejszym podrozdziale, którego przedmiot stanowi geometryczne wyprowadzenie algorytmu ortogonalnej liltracp odszumiającej

Jak wynika z (5.16). geometryczne rozwiązanie problemu optymalnej filtracji odszumiającej sprowadza się do obliczenia projekcji /’l \jj).r(r) lub równoważ nic do wyznaczenia estymatora i„(r) zmiennej losowej r(r) Przypominając re kurencyjne rozwiązanie problemu liniowej prognozy optymalnej, skorzystaimy z definicji błędu prognozy w tyl (2.213)

v„(/) = /’(53&5S-^,)y(/-r.)X53-¹ wraz z jego wersją unormowaną (2.214)

,-„(/) = vr_/I{/)||v„(r)j|-' _L 5S~'

Ponieważ r„(t) € 5g. ale jednocześnie 1 5jj '. zatem podprzestrzeń .Sj można przedstawić jako ortogonalną sumę

■W

Geometryczne rozwiązanie problemu filtracji odszumiającej

co pociąga za sobą dekompozycję operatora projekcji

P(S”„) = P{$-') + P(r_n(t))

(5.29)

gdzie r(r„(t)) oznacza jak poprzednio operator projekcji ortogonalnej na (jednowymiarową) podprzestrzeń .tpun(r_n(tj}. Wykorzystując zależności rekuren-cyjne (5.28) i (5 29) kolejno dla n,n - I_____I otrzymujemy ostatecznie

5ó = ‘®"=o-'pmi(r,(t)}

oraz

P(S^Ho) = t

(5.30)

(5.31)

Stąd wniosek, że zbiór błędów prognozy w tył W(0.n(0.....'•„(r)}

można interpretować jako bazę ON podprzestrzeni SJ.

Wykorzystując dekompozycję (5.31) operatora projekcji P(SJ) w zależności (5 16), określającej poszukiwany przez nas estymator i„(f), otrzymujemy

,{_n(r) = P(SSW0 = t/(r_i(0Wt) =

(5.32)

(5 26)

(5.27)

i=0

= ŻW0.o(0)«'^,i(0 = LrfMO

i=0    i=0

(5 33)

5S = ^o ' @span{r„{t)}

(5.28)

pf = MO.'■.-('))« = E*(0'v(0

jest współczynnikiem Fouriera sygnału r(r) w bazie ON jn(r)}.

Zauważmy, zgodnie z (5.16) przy n zamienionym na i - 1. że i;_i(r) 6 Sir¹,

podczas gdy r,(r) 1 Y₀^-1. na mocy (5.27) przy n zamienionym na f. Stąd wniosek. że

(i,-i((),r,(/))_u=0

Zatem (5.34) możemy przepisać następująco:

P,' = M0.^ri(0)u = M0-'ft-i(0.l(0)ti =

= (ef__l(0,r_i(0)«=Es_i'_₁(r)r_i(0

(5.34)

(5.35)

124

CCII((((I

Liniowa cyfrowa filtracja odszumiająca sygnałów

Przepisując (5.22). przy n zamienionym na i - I. w postaci macierzowej

«f-ttO = 4t(0+«f-i.oJ'(0 + - •+<ⁱ?-u-iy(^,-'+i) =

gżWIńż/UUEPROBLEMU F_IŁTRAc_J,o_nsy„_u„ .... .

Pi — [i O)'_|0 ••• ^ai-IJ-l 0 ... 0]

= [ 1 <Ą_i,o fli-u-i 0 ... Oj

y(r-i+ I) y(i - i)

y(t-n)

i korzystając z unormowanej wersji (2.220) przy n zamienionym na i

^ri(^l) — BiMO + • - ■ + Bjfly(t — i + 1) —

*(»)

= [0 B_u ... Bi,o 0 ... 0]

m

y(t - i +1)

y(l - i)

y{l-n)

(5.38) i!

e*B

oraz oznaczając przez C„ macierz kowariancyjną występującą w zależności (5.25)

C„ =

c„(0)	<•>(0)	••• ^cyx(‘~ 1)	^cy* (0	• • - ^cyx(^n)
0)	o(0)	... c(l-f)	c(-i)	... c(-n)
^cxy(i ~ 1	c(<- 1)	... c(0)	c(-l)	... c(/-l-n)
^cxy(i)	c(i)	... c(J)	c(0)	... c(i — n)
Cxy[^n)	c{")	... c(rt - 1 + 1)	c(n-i)	o(0)

(5.39)

x E <

	x(r)
	y(‘)	[■*(') y(>) ■ ■ ■ y(f-n))
	j(t-n)	>

~ I * <i.o ••• ^ai-i,»-i 0 ... Oj

— Cyx(Q)B„ „ I • . . -J- Cy_x (i) B,J)

= [¹ <-i.o ••• "/-u-1 0 ... 0]C„

	[° Bu
c„	B,.n
	°
	“ J
0
0

(5.40)

(5 41)

Stąd wniosek, że przedstawione tutaj geometryczne rozwiązanie problemu fil tracji odszumiającej daje w wyniku ortogonalną aproksymację estymatora (t) sygnału źródłowego w postaci n-tej sumy częściowej jego szeregu Fouriera w bazie ON {r,(r)}, przy czym współczynniki Fouriera wyrażają się przez kowariancję wzajemną sygnału oryginalnego i obserwowanego

W celu obliczenia wartości błędu średniokwadratowego, zauważmy, że z (5.33) oraz z (5.17) mamy

a następnie wstawiając (5.37)-(5.39) do (5.36), otrzymujemy w końcu

<') = O

i-0

126