87139 skryptC

Rys. 7 i

7. Implementacja algorytmów cyfrowej filtracji ortogonalnej w środowisku MATLAB 4.2™

W niniejszym rozdziale przedstawiono implementację algorytmów cyfrowej filtracji ortogonalnej, omówionych w rozdziałach 2 - 6. w Środowisku systemu Matlab. Przedstawiono też przykładowe wyniki symulacji

W podrozdziale 7.1 zamieszczono przykłady wraz z. wynikami symulacji. zaS w podrozdziale 7.2 - funkcje wykorzystywane w tych przykładach, stanowiące implementację algorytmów filtracji ortogonalnej

7 1 Symulacje algorytmów cyfrowej filtracji ortogonalnej

Niniejszy podrozdział obejmuje dziesięć przykładów ilustrujących działanie algorytmów cyfrowej filtracji ortogonalnej, wraz z przykładowymi wynikami symulacji komputerowych. Przykłady tc zostały przygotowane w postaci m-pli ków, wykorzystujących funkcje stanowiące implementacje algorytmów filtracji ortogonalnej, zamieszczone (w porządku alfabetycznym) w podrozdziale 7.2 Te m-pliki są również dostępne na stronie internetowej: http://wwwiia.pwr.wroL pl/ztsita.

PRZY KŁAD 7.1 Unormowany algoryt m Levinsona

W przykładzie, zaimplementowanym w postaci m-pliku Pl.m, kowariancja (estymowana przy użyciu funkcji korel.m) scentrowanego (z wykorzysta niem funkcji cntr.m) i standaryzowanego (za pomocą funkcji stnd.m) wąskopasmowego (generowanego przy użyciu funkcji gen .m) sygnału przypadkowego służy jako dane wejściowe unormowanego algorytmu Levmsona < funk cja lev.m. stanowiąca implementację zależności (2.155). (2.160), (2.161» Funkcja la zwraca: zbiór współczynników Sclmra rho sygnału, górnotrójkątną

--gl^MULACJe «<-OORVTMÓW CYCOWEJ FILTRACJI Q_BTnnn„„ ... ,

mneierz. odpnwjcd,¹ impulsowych lihru Levinsona A oraz Zbiór wartdfci norm lędu Srednlokwadratowego. Następnie wyliczana jest charakterystyka ampl, udowa filtru Uv,„_Sona<z użyciem funkcji ampl .m). widmowa gcsm« (Wgm, sygnału .sygnału innowacyjnego (funkcja w_gmx._m), oraz estymaTor

idmowej gęstości mocy (na podstawie zależności (2.184)). Postać źródłowa w-pliku PI. m jest następująca:    ^,owa

> PI m Unormowany algorytm Levinsona clnar:

' dlugosc sygnału ' ^dlu90sc funkcji autokowarLancji ^rz3d filtru Levinaona x - gen(T.O.1,0.15,0.20,0.25); xcentr = entr (x)

X3tand = stnd(xcentr);

(cs, ccs, nccsj =korel (xstand, K) ;

(rho,A,ej = lev(cs,N); for i**1:N a (ił »A(i,N) ; end for i»N+l:T a(i)-0; end [Ha,waJ » ampl(a);

H2»Ha.*Ha;

[Wx.wxJ = wgmx(X9tand);

Wn-(Wx/max(Wxłł.•<H2/max(H2));

for i«l:length(H2) H_2 (ił= l/H2(i); end

Wyniki symulacji w przykładzie 7.1 a) kowariancja sygnału parametryzowanego. b) odpowiedź impulsowa filtru Levinsona. c) współczynniki Schunt sygnału parametryzowanego; d) norma błędu ^redniokwadratowego: e) wgm sygnału parametryzowanego. 0 charakterystyka amplitudowa filtru Levinsona; g) wgm sygnału innowacyjnego; h) estymator Levinsona wgm sygnału

parametryzowanego

172

(dliii

173

111

Implementacja algorytmów cyfrowej filtracji ortogonalnej

Symulacje algorytmów cyfrowej filtracji ortogonalnej

y=conv(xstand,A(:,N));

(Wy,wy) = wgmx(y);

subplot (2,4.1) ; plot (nccs.cca) ; titleCa)'}; qrid subplot(2.4,2); stem(A<:.Nłł; titleCb)'); grid subplot (2, <1,3) ; stem (rho (2 :N)) ; title('c)'ł; er id subplot (2 . <1. 4) : plot(e); title('d}'); grid: subplot (2.4,5) ; plot (wx/pi . Wx/max (Wx) ) : titleCe)*) subplot (2,4,6) ,- plot (wa/pi. Ha/max (Ha) ) ; titl«? <' f) ‘ I subplot (2,4,7) ; plot (wy/pi , Wy/max {'Wy) ) ; title{'g)'ł subplot<2,4,8): plot (wa/pi , H_2/max (H_2) ) ; title('h)

grid;

grid;

grid;

) ; grid:

Wyniki symulacji przedstawia rys 7 I

PRZYKŁAD 7.2 Faktoryzacja Choleskiego macierzy kowariancji W przykładzie, zaimplementowanym w postaci m-pliku P2.m, pokazano, że algorytm Lcvinsona implikuje faktoryzację Choleskiego zarówno macierzy ko-wariancyjnej (Toeplitza), jak też macierzy względom niej odwrotnej. Na wstępie wyliczana jest (z użyciem funkcji lev. m) górnotrójkątną macierz A (2.165) kolejnych rozwiązań układu równań normalnych (2.28 ). Na jej podstawie funk cja cholesky.m zwraca faktory Choleskiego: macierzy kowariancji P oraz macierzy odwrotnej Pinv (patrz zależności (2.169), (2.170)). W dalszej części przykładu jest dokonane porównanie macierzy kowariancyjnej Toeplitza C, generowanej za pomocą funkcji MATLABa toeplitz.m i jej postaci sfak-loryzowanej Cfact (wzór (2.169)) oraz wyliczany jest błąd średniokwadra-towy errfact różnic elementów tych macierzy. To postępowanie jest powtórzone dla macierzy odwrotnej Cinv (wyznaczonej z użyciem funkcji MAT LABa inv. m) oraz jej postaci sfaktoryzowanejCinvf act (2.170), wraz z wyliczeniem błędu średniokwadratowego errinv Postać źródłowa ni pliku P2 .m jest następująca.

ii P2.m Faktoryzacja Choleskiego macierzy kowariancji

\ ..........................................................

elear;

T«200;    %    dlugosc sygnału

^K"7;    %    dluqosc funkcji autokowariancji

^N"7;    %    rząd filtru Levinsona

tx) ■ gentT,0.1,0.15,0.20,0.25) ;

pauso;

(xc) * entr(x);

(xsl * stnd(xcł;

(cs,ccs,nccs)=korel(xs.K),-(rho,A.e) lev(c8,N);

(P.Pinv,Cfact.Cinvfact) - cholesky(A); if n<longth(cs)

for .1*1 :n cę(i) •ca (i) ; end Ol 30

cc*caj

end

C-toeplitz(cc',cc) ;

Cinv*inv(C); errfact=0; errinv=0; for i=l:n for j**l:n

errfact=errfact+abs(C(i,j) -Cfact(i.j))*abs(C(i,jł-Cfact(i.jłł; errinv=errinv+abs (Cinv(i. jł -Cinvfact(i,j)) *abs(Cinv(i, j) -Cinvfact (i. j)) end

end

P    ^    faktor Choleskiego

% macierz kowariancyjna sygnału Cfact    faktoryzacja Choleskiego macierzy C

errfact    %    blad sredniokwadratowy faktoryzacji

Cinv    %    macierz odwrotna względem C

Cinvfact    %    faktoryzacja macierzy odwrotnej

errinv    blad sredniokwadratowy faktoryzacji

Przykładowe wyniki symulacji są następujące:

10.0230	0	0	0	0	0	0
•17.7894	9.6394	0	0	0	0	0
8.8008	•17.2598	9.6236	0	0	0	0
3.7683	9.2671	-17.1201	9.4247	0	0	0
-0.4076	2.8447	9.1193	-17.0027	9.3519	0	0
•4.3438	-2.9312	2.3181	11.1954	15.7355	1.8992	0
2.7463	0.5516	-1.9467	-1.1691	9.1570	-1.6147	1.0000
c »
1.0000	0.8502	0.4513	•0.0716	-0.5576	0.8615	0.8996
0.8502	1.0000	0.8502	0.4513	-0.0716	•0.5576	• 0.86 tS
0.4513	0.8502	1.0000	0.8502	0.4513	-0.0716	-0.5576
-0.0716	0.4513	0.8502	1.0000	0.8502	0.4513	•0.0716
0.5576	•0.0716	0.4513	0.8502	1.0000	0.8502	0.4513
-0.8615	-0.5576	-0.0716	0.4513	0.8502	1.0000	0.8502
-0.8996	•0.8615	-0.5576	•0.0716	0.4513	0.8502	1.0000
Cfact «
1.0000	0.8502	0.4513	-0.0716	•0.5576	-0.8615	0.8996
0.8502	1.0000	0.8502	0.4513	-0.0716	-0.5576	•0.8615
0.4513	0.8502	1.0000	0.8502	0.4513	-0.0716	- 0.5576
0.0716	0.4513	0.8502	1.0000	0.8502	0.4513	• 0.0716
•0.5576	-0.0716	0.4513	0.8502	1.0000	0.8502	0.4513
0.8615	-0.5576	0.0716	0.4513	0.8502	1.0000	0.8502
•0.8996 errfact ■ l.	-0.8615 9800e 29	-0.5576	•0.0716	0.4513	0.8502	1.0000

100.4601

-178.3031

178.3031

409.3819

88.2101 322.9348

37.7698

22.2932

4.0855

34.6721

4J.5375 49.0182

27.5260

43.5375

174

175