43681 scan 7 (4)

94

powierzchnia

Gaussa

2. ELEKTROSTATYKA

Rys. 2.20

Rys. 2.19

Przykład 2.3

Długi walec (rys. 2.21) naładowany jest z gęstością proporcjonalną do odległości od osi: /? — Aj, gdzie k jest pewną stałą. Znaleźć natężenie pola elektrycznego we wnętrzu walca.

H— i —H

Rys. 2.21

Rozwiązanie: Narysujmy walec Gaussa o długości / i promieniu ,v. Korzystając z prawa Gaussa, otrzymujemy dla tej powierzchni

S

Ładunek w obszarze ograniczonym tą powierzchnią jest równy

n

(Posługujemy się elementem objętości właściwym dla współrzędnych walcowych (równanie (1.78)) i całkujemy względem </> od 0 do 2n, a względem z od 0 do /. Zmienna całkowania oznaczona została jako aby odróżnić ją od promienia powierzchni Gaussa s.)

Z symetrii wynika, że E musi być skierowane radialnie na zewnątrz, tak więc dla powierzchni bocznej walca Gaussa mamy: