55542 str293

8 4. SYMBOLE CHR1STOFFELA 293

Rozwiązanie. Jak wiemy (patrz zad. 3.1) składowe metrycznego tensora kowariant-nego a_mn we współrzędnych sferycznycli wynoszą

a_mn = 0 dla m # n oraz a_u = l, a₂₂ = Q²t o₃₃ = g² sin² 0. Obecnie korzystamy ze wzoru (4.7):

da_rm da.

dxⁿ ax^m

O

i stąd otrzymujemy

[1 1,0 = 0,

[1 2, 1] = 0,

[1 3, 1] = 0,

[2 1,1] = 0,

[2 2, 1] = -e,

[2 3,1] = 0,

[3 1,1] = 0,

[3 2, 1] = 0,

[3 3, 1] = —esin²0,

[1 1,2] = 0,

[1 2,2] = e,

[13,2] = 0,

[2 1,2] = _e,

[2 2,2] = 0,

[2 3,2] = 0,

[3 1,2] = 0,

[3 2, 2] = 0,

[3 3,2] = -ie²sin20, [1 1,3] =0,

[1 2, 3] = 0,

[13.3]    = gsin²0,

[2 1,3] = 0,

[2 2,3] = 0,

[2 3, 3] = }_G²sin20,

[31.3]    = psin²0,

[3 2,3] = }p²sin20, [3 3,3] = 0.

Składowe tensora sprzężonego a^mn wynoszą:

1

g²sin²0

„33

a^mn = 0 dla m^n i a^lł = l, a²² Obecnie korzystając ze wzoru (4.11) otrzymujemy: