60788 IMG
09

1 KINEMATYKA PŁYNÓW

39

Podstawiając te wyrażenia do równania (3.18) otrzymamy

dp , dp dx ₍ Bp dy _f Bp dz _t f 3^ _t *^v7 Ą Bi Bx di dy dr dz dl    dx dy Bz

-t~T. ⁺ P ~=Ć~

dx dy dz

Pierwsze cztery wyrazy równania stanowią pochodną zupełną gęstości względem czasu, a sumę pochodnych cząstkowych składowych prędkości w nawiasie wyrażamy jako dywergencję wektora prędkości zatem

i£+p-divV-0.

dl

(3.19)

-0, równanie ciągłości (3.18)

przyjmie postać

Dla płynu nieściśliwego ( p=const) różniczkowe równanie ciągłości (3.18) uprości się do postaci

(3.20)

Otrzymane równanie ciągłości możemy sformułować w ten sposób, że suma cząstkowych pochodnych składowych prędkości względem odpowiednich współrzędnych w dowolnym punkcie obszaru wypełnionego przepływającym płynem jest równa zeru.

Przy wyprowadzeniu równania ciągłości nic czyniliśmy żadnych ograniczeń dotyczących lepkości lub braku lepkości płynu. Równanie ciętości w podanej powyżej pnda i jest d«o» zarówno dła płynów nie lepkich jak i lepkich.

Udowodnijmy jeszcze, że divY określa względną zmianę objętości płynu w jednostce

UlL Fizyczny sens dywergencji prędkości

Niech dowolna masa m płynu ściśliwego zajnwijc w pewnej chwili objętość &. W aaaf ruchu płynu gęstość i objętość tego elementu mogą się zmieniać, jednakże mass dementu powinna pozostać stała ( m = const).

m = p-8 ■ const

Wynika stąd, że prędkość zmiany objętości i gęstości są wzajemnie powiązać ww*™

lub

Na mocy równania ciągłości (3.18)

czyli

Zatem

-!££. = divV p dl

(3-23)