1 KINEMATYKA PŁYNÓW
39
Podstawiając te wyrażenia do równania (3.18) otrzymamy
dp , dp dx ( Bp dy f Bp dz t f 3^ t *v7 Ą Bi Bx di dy dr dz dl dx dy Bz
-t~T. + P ~=Ć~
dx dy dz
Pierwsze cztery wyrazy równania stanowią pochodną zupełną gęstości względem czasu, a sumę pochodnych cząstkowych składowych prędkości w nawiasie wyrażamy jako dywergencję wektora prędkości zatem
i£+p-divV-0.
dl
(3.19)
-0, równanie ciągłości (3.18)
przyjmie postać
Dla płynu nieściśliwego ( p=const) różniczkowe równanie ciągłości (3.18) uprości się do postaci
(3.20)
Otrzymane równanie ciągłości możemy sformułować w ten sposób, że suma cząstkowych pochodnych składowych prędkości względem odpowiednich współrzędnych w dowolnym punkcie obszaru wypełnionego przepływającym płynem jest równa zeru.
Przy wyprowadzeniu równania ciągłości nic czyniliśmy żadnych ograniczeń dotyczących lepkości lub braku lepkości płynu. Równanie ciętości w podanej powyżej pnda i jest d«o» zarówno dła płynów nie lepkich jak i lepkich.
Udowodnijmy jeszcze, że divY określa względną zmianę objętości płynu w jednostce
UlL Fizyczny sens dywergencji prędkości
Niech dowolna masa m płynu ściśliwego zajnwijc w pewnej chwili objętość &. W aaaf ruchu płynu gęstość i objętość tego elementu mogą się zmieniać, jednakże mass dementu powinna pozostać stała ( m = const).
m = p-8 ■ const
Wynika stąd, że prędkość zmiany objętości i gęstości są wzajemnie powiązać ww*™
lub
Na mocy równania ciągłości (3.18)
czyli
Zatem
-!££. = divV p dl
(3-23)