0474

475

§ 2. Prosta styczna i płaszczyzna styczna

Podstawiając te wartości p i q do równania (10) przekształcimy je łatwo do postaci

(12)    F'_x (x, y, z)(X-x) + F'_y(x,y,z)(Y-y) + F'_z (x, y, z) (Z - z) = 0.

Oczywiście taką samą postać ma równanie płaszczyzny stycznej w punkcie, w którym F_z=0, lecz jedna z dwu pozostałych pochodnych F'_x i F'_y jest różna od zera. Jedynie w punkcie osobliwym równanie to traci sens. Zagadnienie istnienia płaszczyzny stycznej w takim punkcie pozostaje otwarte.

3° Łatwo się teraz domyślić, jak znaleźć styczną do krzywej danej dwoma równaniami uwikłanymi

F(x,y,z) = 0,    G(x,y, z)=0,

tzn. przedstawionej jako przecięcie się dwóch odpowiednich powierzchni. Jeżeli rozpatrujemy zwykły punkt krzywej, to w jego otoczeniu krzywa może być przedstawiona równaniami nieuwikłanymi [227], a więc styczna istnieje na pewno. Oczywiście styczna ta jest krawędzią przecięcia płaszczyzn stycznych do obu powierzchni i tym samym jest określona równaniami

₍₁₃₎    F’JX-x) + F'_y(Y-y) + F’_z(Z-z) = 0,

c;(j>c-x)+c;(y-y)+G;(z-z)=o.

W punkcie zwykłym co najmniej jeden z wyznaczników macierzy współczynników tych równań jest różny od zera. Równania te zatem określają rzeczywiście prostą.

4° Wracając do powierzchni, rozpatrzymy na zakończenie przypadek, gdy jest ona przedstawiona równaniami parametrycznymi

x=ę(u,v), y = y/(u,v), z = y(u,v).

Ograniczymy się znowu do punktów zwykłych i pojedynczych. Ponieważ w otoczeniu takiego punktu powierzchnia może być przedstawiona równaniem nieuw kłanym [228], więc istnienie płaszczyzny stycznej jest zapewnione. Równanie jej można napisać w postaci

(14)    A(X-x) + B(Y-y) + C(Z-z) = 0,

gdzie współczynniki A, B, C należy jeszcze określić.

Ustalmy w równaniach powierzchni parametr v na wartości, którą przybiera on w wybranym punkcie. Otrzymujemy w ten sposób równania krzywej (linii v) przechodzącej przez ten punkt. Styczna do tej krzywej w tym punkcie ma równania (patrz (9)):

X-x_Y-y _Z-z K y« Zu

Analogicznie ustalając u otrzymujemy krzywą z drugiej rodziny linii współrzędnych (linię u), przechodzącą przez dany punkt i mającą w tym punkcie styczną

X—x Y—y Z—z

Z.

x,