053(1)

Podstawiając te wartości parametru t do równań danej krzywej, znajdujemy punkty krzywej, w których styczna jest równoległa do osi Ox: (1, -15), (-3, 17).

2) W tym przypadku przyrównujący' do współczynnika kątowego danej prostej, równego —9, otrzymujemy

3t²—12 = — 9, skąd t² = 1; t = ±1

i po podstawieniu tych wartości parametru t do równań krzywej, wyznaczamy współrzędne jej punktów, w których styczna jest równoległa do danej prostej: (0, —10), (—2, 12).

246*. Napisać równania stycznych do paraboli y — x^l—4*+l, przechodzących przez nie leżące na niej punkty: 1) 0(0, 0), 2) A(l, 1).

Rozwiązanie. Równanie ogólne stycznej do danej paraboli ma postać

y—y₀ = (x²-4x^Jrl )ó (x - x₀)

czyli

.    y—(xg—4*o+1) = (2*o 4) (x Xq)

gdzie (w, y) — punkt bieżący stycznej, a (*₀, y₀) — szukany punkt styczności.

1)    Ponieważ styczna ma przechodzić przez punkt 0, pow inien on spehuać ostatnie równanie, czyli powinno być

O-CtS—4*0+1) = (2*0—4)(0—*o)

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które po rozwiązaniu daje dwie wartości xo dla odciętej punktu styczności: *o = ±1, czyli otrzymujemy dwa równania stycznych

2 *+y = 0    i 6*+y = 0

2)    Dla punktu A te same rozważania prowadzą do równania .rj}—2.v₀— + 4 = 0, nie mającego pierwiastków rzeczywistych. Oznacza to, że z punktu A nie można poprowadzić ani jednej stycznej do danej paraboli (rys. 47).

Otrzymane wyniki mają prostą interpretację geometryczną: z punktu leżącego w obszarze na zew nątrz paraboli można poprow adzić dwie styczne do niej, a z punktu leżącego w obszarze wewnątrz paraboli — ant jednej.

W przypadku ogólnym, gdy chodzi o przeprowadzenie stycznych do krzywej y = /(*) z punktu (a, b) nie leżącego na krzywej, postępujemy

w ten sam sposób; biorąc za punkt wyjścia ogólne równanie stycznej do danej krzywej

y-yo = y'o(x—x<,)

żądamy, aby styczna ta przechodziła przez punkt (a. b). Zadanie będzie miało tyle rozwiązań, ile pierwiastków rzeczywistych ma równanie b-f(xo) =/'(x₀)(a-jf₀)

wyrażające ostatni warunek j określające odcięte punktów styczności na krzywej.

W zad. 247—253 znaleźć równania stycznych i normalnych do danych krzywych we wskazanych punktach oraz wykreślić krzywe, styczne i normalne.

247.    Do paraboli y = 4—x² w punkcie o odciętej x = —l

248.    Do hiperboli y²—2x² = lw punktach o odciętych * = 2

249.    Do elipsy x = 2 ]^/3cost, y = 2sint w punkcie, w którym t — tc/6

250.    Do asteroidy x = acos³i, y = usin³? w punkcie, w którym 1 =

— n j4

251*. Do krzywej y — 'sinxj w punkcie kątowym o odciętej x = tt,

252*. Do krzywej y = \2x—x²| w jej punktach kątowych

253*. Do krzywej 2y = ; arcsinx| w jej punktach kątowych

W zad. 254—259 obliczyć, pod jakim kątem przecinają się dane linie. Narysować linie i kąty.

254. 9y ~ x³; x—y = 0    255. y — cosx; 2y = 1

256*. y² = 2ax^Jra²; y¹ = b²—2bx

257. y = e^x; y = e^ix