39(1)

Podstawienie tego wyrażenia do równania (7.37) daje:

»W-    >-*.*-

Zauważ, że zamiana zmiennych l x na u pociąga za sobą konieczność zmianv nic całkowania na odpowiednie wartości nowej zmiennej. Zauważ też, że ma?* mogliśmy wyciągnąć przed znak całki, gdyż jest ona stała.

W wyrażeniach po prawej stronie równania (7.41) rozpoznajemy wyrażc na energię kinetyczną, co umożliwia zapisanie tego równania w postaci:

W — Zi-i; końc Ey poć/ — AEy.

przedstawiającej równość pracy i zmiany energii kinetycznej.

i

Przykład 7.9

Na cząstkę działa .siła: /' - (3.v* N)i -t- (4 N)j, gdzie .v jesi wyrażone w metrach, w wyniku czego /.mienia się jodynie energia kinetyczna cząstki. Jaką pracę wykonuje la silu nad cząstką, gdy cząstka pr/omics/c/.a się / punktu o wsjHłli/ędiiych (2 ni. 3 ni) do punktu o współrzędnych (3 m. 0 m)? C/y wartość prędkości cząstki rośnie pr/.y tym. maleje, c/y pozostaje bez zmiany'.’

ROZWIĄZANIE:

O—■* Siła, występująca w zadaniu jest zmienna, gdyż jej składowa x zależy od wartości x. Do wyznaczenia pracy nic możemy

zatai) zastosować wzorów i 7.7) i <7.Si. Musimy więc skorzy^ z równaniu (7.30) i scałkować siłę:

-=l.V-2'|+4|0    3| = 7J.

(odpowiedź)

Otrzymana praca jest dodatnia, co oznacza, że w wynikli działania siły F cząstka zyskała energię. Wobec tego wzrosła energia kinetyczna cząstki, a zatem i wartość jej prędkości.

7,7. Moc

Przedsiębiorca budowlany chce przetransportować ładunek cegieł z chodnika na szczyt budynku z:» pomocą kołowrotu. Umiesz już obliczyć pracę, jaką musi wykonać w tym celu nad ładunkiem siła przyłożona do liny kołowrotu. Przedsiębiorcę interesuje jednak przede wszystkim to.jakszybkłt można tę pracę wykonać: czy zajmie to 5 minut (co jest dla niego do przyjęcia), czy tydzień (co absolutnie nic jest Jo przyjęcia).

Szybkość, z jaką siła wykonuje pracę, czyli pracę wykonywaną w jednostce czasu nazywamy mocą. Jeśli siła wykonuje pracę IV w przedziale czasu Ar, to moc średnia w tym przedziale czasu wynosi;

w_

At

(moc średnia).

(7.42)

Moc chwilowa P jest to szybkość wykonywania pracy w danej chwili. Można ją zapisać jako:

(7.43)

P — —-—    (moc chwilowa),

dr

158    7. Energia kinetyczna i praca

S5U- -—

fjy, żc znamy pracę VV'(0 wykonywaną przez pewną silę. jako funkcję Jeśli chcemy wyznaczyć moc chwilową F w chwili - powiedzmy —

Ł3 _s W czasie działania tej siły. to najpierw znajdujemy pochodną funkcji ftj względem czasu, a następnie obliczamy jej wartość dla t - 3 s. f Jednostką mocy w układzie SI jest dżul na sekundę. Jednostka ta jest tak gto używana, że nadano jej własną nazwę: wat (W), od nazwiska Jamesa itta, którego wynalazki przyczyniły się do zwiększenia szybkości, z jaką mogą Jfcbnywać pracę silniki parowe. Czasem używa się także jednostki o nazwie Ó mechaniczny (KM). Oto związki między tymi jednostkami:

(7..44)

1 W = I J/s

oraz

1 KM = 746 W.

(7.45)

w często spotykanej jednostce o nazwie kilowatogodzina (kWh). Jest ona równa:

Jak widać z. równania (7.42). pracę można wyrazić jako iloczyn mocy i czasu, jak

I kWh = (!()■’ WN3600 s) - 3.6 ■ 10*’ J = 3.6 MJ. (7.46)

Kilowatogodziny są najczęściej stosowane jako jednostki handlowe energii elektrycznej (występują one nu rachunkach z elektrowni), dlatego toż kojarzy się jo. tak jak i waty. z. jednostkami elektrycznymi. Mogą one hyc rów nie/ stosowane przy innych rodzajach mocy. czy pracy i energii. Jeśli zatem, nu przykład podnosisz książkę z podłogi i kładziesz ją na półce, to wykonaną przy tym pracę możesz wyrazie jako 4 • 10 "*’ kWh (a może nawet wygodniej jako 4 m\Vh).

Szybkość. / jaką silu wykonuje pracę nad cząstką (lub ciałem o właściwościach cząstki) możemy również wyrazić przez tę siłę i prędkość cząstki. Dla cząstki poruszającej się po linii prostej (powiedzmy wzdłuż osi v). nu którą działa stała siła F. skierowana pod pewnym kątem 0 do tej linii, równanie (7.43) daje:

Rys. 7.13. Moc jcsl szybkością. '/. jaką silu (ł/ialającu na przyczepę ze strony ciężarówki wykonuje prace nad przy*

c/epą

7.7. Moc

159