0429

430

VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania

Podstawiając znalezione wyrażenia do wzorów (2) otrzymujemy pochodne y względem x wyrażone przez t, u i pochodne u względem t.

Jeżeli wzory na zamianę zmiennych nie są rozwiązane względem x i y:

(5)    &(x, y, I, w) = 0 , V(x, y, t, u)=0,

d^{1 2}x d²y

—i , —r, ... obliczamy według reguł różniczkowania funkcji uwikłanych. dt dt

to pochodne

dx dy ~It ’ dt

Na przykład zróżniczkujemy (5) względem t, traktując przy tym jako funkcję zmiennej t nie tylko x i y, lecz także u. Otrzymamy równania

dW    dx    dW    dy d<ł> d<F    du

■    —+    —    •    — + — + —    •    — =0 ,

dx    dt    dy    dl dt du    dt

d&    dx    d&    dy    d&    B0    du

— •--1---• —H---1--• —=0,

dx    dt    dy    dt    dt    du    dt

dx dy

z których możemy wyznaczyć —, — •

dt dt

W szczególnym przypadku, gdy wzory na zamianę zmiennych rozwiązane są względem nowych zmiennych

(6)    t=a(x, y),    «=/?(*, y), możemy posłużyć się wyłożoną powyżej ogólną metodą. Np. różniczkując wzory (6) względem t i traktując przy tym x, y i u jako funkcje t, otrzymujemy

Stąd

da    dx    da    dy    du    dp    dx    dft    dy

dx    dt    dy    dt    dt    dx    dt    dy    dt

3/ł da du

dx dy dy dt dt da dp da dp dx dy dy dx

da du 90

dy dx dt dx dt da dp da dp dx dy dy dx

(7)

du

dt

du

dx

dt

dx

dp dp dy dx dy dx da da dy dx dy dx

Dostajemy stąd dla dyjdx wyrażenie takie samo jak przedtem.

dt du    da dp

Tutaj tez rozróżnialiśmy pochodne —, — i —, —. Pierwsze oznaczają „całkowite” pochodne

dx dx    dx dx

względem x, to znaczy z uwzględnieniem zależności y od x, a drugie — są pochodnymi cząstkowymi funkcji (6) względem x jako jednego z dwóch argumentów.

1

wreszcie

da du dp dy dx dt dx dx dp da du dy dy dt

2

Prościej jest jednak w tym wypadku postępować tak, jak gdyby wykonywało się przejście odwrotne — od zmiennych t i u do zmiennych x i y. Różniczkując wzory (6) względem x i traktując przy tym y jako funkcję x otrzymujemy

dt    da    da    dy    du dp    dp dy

dx    dx    dy    dx    dx dx    dy dx

zatem