0399

400

VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania

Podstawiając /(x) zamiast y otrzymamy

F'_x(x,f(x))

F'_t(x,f(x))‘

Ponieważ w liczniku i mianowniku występują tu funkcje ciągłe funkcji ciągłych i przy tym mianownik jest różny od zera, Wynika stąd, że f'(x) jest także funkcją ciągłą. Twierdzenie jest zatem udowodnione.

Jest godne uwagi, że z własności danej bezpośrednio funkcji F(x, y) możemy sądzić o własnościach funkcji y—f(x), której bezpośredniego przedstawienia nie mamy.

208. Funkcje uwikłane wielu zmiennych. Podobnie jak równanie (1) można rozpatrywać równanie z większą liczbą zmiennych

(4)    F(x_t,x₂, ...,x„,y) =0.

Przy pewnych założeniach równanie to określa y jako funkcję uwikłaną n zmiennych x_t, x₂, ...,x„:

y =/(>!, *2.....*„),

która na ogół jest wieloznaczna. Jeżeli podstawić ją zamiast y, to otrzymuje sie równość

F(xy,x₂, ...,x_n,f(xy,x₂, ..., x„))=0

będącą tożsamością względem x_x, x_a,..., x„.

Będziemy mówili, że w (n+ l)-wymiarowym prostopadłościanie

(#i yb\‘, a₂,b₂ \a„,b„ \ c, d)

równanie (4) określa y jako jednoznaczną funkcję zmiennych x_1; x₂, ..., x„, jeżeli dla dowolnego punktu (x_ł,x₂, ..., x„) leżącego w n-wymiarowym prostopadłościanie

iai, b_y ;a₂,b₂; ...; a„, b„)

równanie (4) ma jeden i tylko jeden pierwiastek y w przedziale, (c, d).

W roli takiego prostopadłościanu zazwyczaj będzie występowało otoczenie interesującego nas punktu (x°, x°,..., x°_n).

Sformułujemy teraz twierdzenie odnoszące się do równania (4).

Twierdzenie IEL Załóżmy, że

1)    funkcja F(xy, x₂, ..., x„, y) jest określona i ciągła w (n+l)-wymiarowym prostopadłościanie

@=<.x⁰y-J₁,x⁰y+Jy; ...; x°-A_n, x°+d„; y₀-A', y₀+A'}

o środku w punkcie (xy,x₂, ..., x°_n,y₀);

2)    pochodne cząstkowe F'_Xl, F'_Xl, ..., F_Xn, F’_y istnieją i są ciągłe w 3l\

3)    funkcja F w punkcie (x?, x\, ...,x°,y₀) jest równa zeru;

4)    pochodna F'_y w tym punkcie nie jest równa zeru.