85424 s98 99

98

a więc

1-e-¹* =

oraz

2e ^2xdx = 2tdt.

t₂ = VI

Zmieniając granice całkowania ti = y/T-

oraz stosując twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie, mamy

ry/l-e-¹    i    ry/l-e-¹ j

W^)^dt = J^ZT T~

dt.

Aby obliczyć ostatnią całkę, funkcję podcałkową rozłożymy na ułamki proste:

1

t²

1-t¹

A B

+

l-f i+r

a więc

1 = A(l+t)+B(l-t).

Porównując współczynniki przy równych potęgach f, mamy

1 = A + B,

0 = A-B, ’

a więc

1    /V³ l    i rV*-« * i

L = -    _ __dt + -    _ —

2 Jy/l-e-> 1 ~ t    2 7v 1__C-1 1 4

V1—e~¹

= -[-łn|l-t|4ln|l4t|]

Vi-o-' 1 + ^

-dt

vT

■ln

1 + t

V1 — e^-2

l-f

VI

im ¹ +    ~ e~¹ 1 - Vl - e^-1

2 ⁿ 1 - VI - e-'¹ 1 4 Vl — e^_1=

Ten ostatni rezultat można przedstawić w prostszej postaci, mianowicie

(l - VT - e^-1)'

L = lin

(14

2    (1 - Vl - e“¹)(l 4 Vl - e-¹) (1 4 Vl - e-^x)(l - Vl - e"¹)

₌ i (i 4 vr^^rf)¹(i - yr^Fy¹

2 ^ln    e-¹e-!

= lne ^J (1 4 Vl — e-¹)(l — \/l — e^_1) = ln(e + \/e¹ — l)(Ve — Ve — 1).

()()

2. Wiadomo, że jeśli krzywa dana jest w postaci parametrycznej

x = x(t), y = y(t), te[a,P],

a funkcje x i y mają ciągle pochodne w przedziale [a, /?], to długość luku wyraża się wzorem

L= f \f[x'(t)]² + [y'{t)]²dt.

J O.

Ponieważ

x' = 21

y' = i(t²-3 + 2f²) =t²-l,

więc

[x'(t)f + [y'{t)f = 41² + (t² - l)² = t⁴ + 2£² + 1 = (t² + l)².

Stąd mamy

3\/3

T~

+ v^/3 = 2v^/3.

rV3    _ rV3

/    y/(t² + l)²(lt = /    (t² + l)df

./O    7o

3. Krzywa dana jest w postaci biegunowej p = p(p)- Jeżeli funkcja p ma ciągłą pochodną w przedziale [a, [3], to długość łuku dla p £ [a, /?] jest dana wzorem

L = f yj\p(p)]² + [p'{p])²dp.

J Cl

Obliczmy pochodną

p' = 2acos<p.

Wówczas

p² + (p¹)² — 4a² sin² tp + 4a² cos² p — 4a²,

a więc

-f

L=    2 adp = 2a<p

= 2-kcl.

0

1

Stąd