s68 69

68

Podstawmy

ar + 1 =

a więc 2xdx = du. Stąd, na podstawie twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie, mamy

/ 2x sin(x² + \)dx = J sin udu = — cosu-f-C = — cos(x² + 1) + C.

9. Podstawiając

V arcsin x = t,

mamy a więc

arcsinx = t²,

-dx = 2 tdt.

\/l — x²

Stosując twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie, mamy

/j    r    2    2 /    v 3

\Zarcsinx-^_.. ^dx = J 2t²dt = -t³ + C = - (VarcsinxJ + C.

10. Podstawmy

x³ = t,

3x²dx - dt.

Na podstawie twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie, a potem twierdzenia o całkowaniu przez części mamy

J x⁵ cos x³dx = J x³x² cos x³dx = i J t cos tdt

u = t v' = cos tli

V = -tsint — ^ / sin tdt v! — 1 u = sin t I 3    3 .

\h

= -t sint + - cost + C = ^x³sinx³ + ^ cosx³ + C.

O    u    łJ    O

11. Funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną właściwą. Sprowadźmy mianownik do postaci iloczynowej

Funkcję podcałkową rozkładamy teraz na ułamki proste:

2x + 5    _ A B

(x — l)(x -2) ~ x - 1 ⁺ x - 2

Mnożąc obie strony przez (x — l)(x — 2) mamy

2x + 5 = A(x - 2) + B(x - 1).

Porównując współczynniki przy równych potęgach x, otrzymamy układ równań na wyznaczenie stałych A i B :

x 2 — A + B, x° 5 = —2.4 - B.

Po rozwiązaniu tego układu, otrzymujemy

A = -7, B = 9.

Stąd

h

2x + 5

² - 3ar + 2

dx

= -7 /-^-+ 9 / ——z — —71n |a: — 1| + 91n |ac — 2| + C. J x- 1 J x-2

12. Obliczmy wyróżnik mianownika: A = 4 — 20 = —16. Ponieważ A < 0, więc mianownik sprowadzamy do postaci kanonicznej

a więc

Podstawmy

x² + 2x + 5 = {x + l)² + 4 = 4

1 +

(x + 1)

21

/ ^dx - i /    1

J x²+2x +5    4 J i₊(£±I^

x + 1

r dx.

= t,

a więc

-dx — dt. 2

Z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie wynika

I' dx _ 1 f dx    1 f

J x'^J + 2x + 5 ~ 4 J i ₊ (i±i)²    2 J T

dx    1 f dt

+ t²