94 95 (5)

9.6 a)

10 30 -		7 18 6 '		■ i i r
7 7 15 4	b)	—3 -8 -3	; c)	-3 0 1
		.2 6 3 .		2-10.
- ~ 7 7 -

8-6

9.8* a) u, = (1,0), u₂ = (0.1), v_: = (± |), r₂ = (i -|); b) i, =(1.0) *₂ =

(0,1). t, = Q,0,o), *2 = (O. |,3^; v₂ = (°*“ 5^,-1)^;C) ^il =^^1,0»⁰)» ** = (°'¹-°)»

u* = (0,0,1), uj = (1.0. 0). t»2 = (—3, 2, —1), Uj = (1, —1, l); d) jest to niemożliwe; e) bazy nic mogą być te same.

9.9* L{x,y,z) =

([a²(l - cos o) + cos o] z -f [aA(l - cos o) - esin o] y + [ac(l — cos o) + Asiu o] z ,

[oA( 1 — coscr) + Asin a]x + [fc²(l — cos o) + cos o] y + (6c(l — cos o) — a sin <x]z,

[ac(l — cos cs) — b sin o] r — [Ac(l — cos o) + asm o) y + [c²(l — coscr) + cos a] z) .

Dziesiąty tydzień

Działania na przekształceniach liniowych (3.4). Wartości i wektory własne przekształceń liniowych (3.3)

Przykłady

• Przykład 10.1

Przekształcenia liniowe L\ : fi³ —♦ fi⁴, L₂ : fi⁴ —*• fi², L₃ : fi²-R^Ą określone

są wzorami;

i) = (x -r 2y,x - z,2r + y + z,y + 2z),

L₂(z y, z, t) = (z + y + z-f <,-2t).

£»(*. y) = (r + y, x - y. 3r - y, x - 1y).

Napisać macierze w bazach standardowych odpowiednich przestrzeni oraz podać wzory przekształceń liniowych:

a) L₂ o L\; b) L$ o L₂\ c) a L₂ o L\.

Rozwiązanie

Skorzystamy z tego. że macierz złożenia przekształceń liniowych jest równa iloczynowi macierzy tych przekształceń. Oznaczając symbolem A, macierz przekształcenia Li dla 1 ^ i ^ 3 mamy:

Ai =

'12 0"			' 1 1'
4 1 o		! 1 ^1 1 1	1 -l
2 1 1	i. W II	0 0 0 -2 M^3" J	3 -1
0 1 2			. 1 -4 .

Dziesiąty tydzień - przykłady    95

a)

Macierz przekształcenia

liniowego Ly c Lj

A2 • Aj

4

0

: i*³ 4

-2

—* R² jest równa

2 ‘

-4

i stąd wynika wzór tego przekształcenia

b)

{Li o Li){z,y.*) = {4x 4-Przekształcenie liniowe Ly o Li : R⁴ ——* J?⁴

4y + 2z, —2y - 4z) na macierz postaci

Ay ■ Ai

’ 1 I 1 -1 ‘ 111    3

3 3 3    5    ’

111    9

stąd odczytujemy wzór

(Ly o Li) [x,y.2, t) = (x -f y 4- z - t.z + y 4- z + 3i_; 3x 4- 3y -f 3z 4- 5*. z 4- y 4- z 4- 9t). c) Macierz przekształcenia Ly o Li o Lj R³ —* i?⁴ jest równa

A₂ A₂ Aj = Ay (A₂ Aj) = (Ay A₂) Aj

4	2	_2 "
4	6	6
12	14	10
4	12	18

a więc

(Ly o L₂ o L\) (r, y, z) = (4x 4- 2y — 2z, 4x -f Gy 4- 5z, 12x + 14y 4- 10z, 4x 4- 12y 4- 18z).

• Przykład 10.2

Niech A, L będą przekształceniami płaszczyzny, przy czym K jest rzutem prostop-kątnym na prostą k : i 4 y = 0, a L jest obrotem o kąt — wokół punktu (0,0). Napisać macierze w bazie standardowej przestrzeni R? przekształceń

a) A'² o L⁴; b) K o L o K o L.

Rozwiązanie

1	1 I		‘ v^/3 1 '
2 2		, ^ =	2 2
1	1		1 -v/3
• 2	2 •		-22-

Macierze A, B odpowiednio przekształceń K, L w bazie standardowej przestrzeni R¹ mają postać:

a) Macierz przekształcenia K² o L⁴ jest równa

1 li		1 v3 ‘		' -l4-\/3 1 4- \/3
2 2		2 2		4 _ 4
1 1		v^3 1		1 - >/3 -1 - y/3
2 2-1		1-2 2 -		L 4 4