CCF20090513008

Jt i. mauKcja i wyjaśnianie

poteza nigdy nic jcsl wyczerpująco uzasadniona, ale może być lepiej lub gorzej potwierdzona przez świadectwo. Potwierdzenie jest więc stopniowalne. Pytanie brzmi: jak mierzyć stopień potwierdzę-n i a? Są dwa poważne argumenty, aby stopień potwierdzenia hipotezy traktować jako prawdopodobieństwo jej prawdziwości, dokładniej, prawdopodobieństwo warunkowe ze względu na świadectwo.

Po pierwsze, za pomocą pojęcia prawdopodobieństwa warunkowego można zdefiniować relację między zdaniami" - z których jedno wyraża hipotezę, a drugie świadectwo - będącą uogólnieniem zwykłej implikacji. Mianowicie: równość P(H\E) = 1 znaczy tyle, że jeżeli zachodzi £ (£ jest zdaniem prawdziwym), to P{H) = 1, czyli H jest pewne^{1 2}, a zatem prawdziwe. Innymi słowy, P(II\E) = 1 jest praktycznie równoważne implikacji E-*H. Z kolei równość P(I! \E) = 0 znaczy tyle, że jeżeli zachodzi E (£ jest zdaniem prawdziwym), to P(H) = 0, czyli FI jest niemożliwe³, to znaczy fałszywe. Innymi słowy, P(H\E) = 0 jest w zasadzie równoważne implikacji £ -» ->H. Przypadki pośrednie, to znaczy P{H\E) = r, 0 < r < 1, reprezentują więc sytuację, w której £ „częściowo implikuje” H, to jest prawdziwość £ nie przesądza o wartości logicznej Ii, ale ją niejako sugeruje: im większe r, tym bardziej prawdopodobne, że H jest prawdziwe. Wydaje się, że świadectwo empiryczne wchodzi w tego rodzaju relacje z. hipotezami: nie implikuje ich, lecz uprawdopodabnia.

Po drugie, wydaje się, że za pomocą pojęcia prawdopodobieństwa można należycie określić stopień racjonalnego przekonali i a o prawdziwości hipotezy. Z braku wyczerpujących dowodów uczony nigdy nic może być pewny swoich hipotez. Stąd jednak nie wynika, że musi, jak starożytny sceptyk, przestrzegać zasady równowagi sądzenia. Przeciwnie, świadectwa słusznie skłaniają uczonych do dyskryminacji hipotez: uczeni są w mniejszym lub większym stopniu ¹ Nauka jako wiedza prawdopodobna

35

przekonani o ich prawdziwości. Pytanie brzmi: co to znaczy, że ktoś u st przekonany w stopniu r o prawdziwości H? Stopień przekonania najlepiej jest mierzyć skłonnością do działania na podstawie danej hipotezy. Najlepiej skłonnością do przyjęcia zakładu na temat jej prawdziwości. Kto jest w wysokim stopniu przekonany o prawdziwości pewnej hipotezy', ten gotów jest postawić na nią dolary przeciw orzechom. W przeciwnym razie nie postawi ani grosza. Niech s, będzie stawką, którą gracz stawia w zakładzie, a s₂-stawką jego przeciwnika. Wówczas rpłr, nazywa się ilorazem zakładu dla tego gracza. Stopniem przekonania gracza (o tym, że wygra zakład) można nazwać najwyższy iloraz, przy którym gracz skłonny jest zakład przyjąć. Jeżeli więc gracz gotów jest postawić 9 zł, ale ani grosza więcej, przeciw 1 zł na to, że następne wybory prezydenckie wygra Jolanta Kwaśniewska, to znaczy, iż jest w 90% przekonany, że tak właśnie się stanic.

Racjonalność układu scopni przekonania

Teraz należy odpowiedzieć na pytanie, jakie warunki muszą być spełnione, aby stopień przekonania był racjonalny. Na pewno stopień przekonania musi być modyfikowany-w-edługjakicjś reguły-w miarę pozyskiwania nowych świadectw. To jednak nie wystarczy. Wyjściowy układ przekonań racjonalnego podmiotu nie może być zupełnie dowolny. Przypuśćmy, że wspomniany przed chwilą gracz gotów jest przyjąć zakład, w' którym postawiłby 2 zł przeciw 8 zł na wygraną w wyborach Andrzeja Leppera. Wówczas gdyby nasz gracz przystąpi! do obydwu zakładów, w wypadku sukcesu obecnej pierwszej damy wygrywa 1 zł, ale przegrywa 2 zł, w wypadku zwycięstwa Leppera wygrywa 8 zł, ale przegrywa 9 zł. Jeszcze gorzej, gdy wygra ktoś postronny. Bez względu na wynik wyborów nasz gracz musi dopłacić do interesu. Toteż gracz, który przyjmuje taki system zakładów, zwany w literaturze holenderskim (Dutch-book), jest nieracjonalny. Warunkiem racjonalności gracza zawierającego zakłady jest to, by przystępując do systemu zakładów, nie przegrał. Okazuje się, że kompletny system zakładów (to jest taki, w' którym gracz obstawia wszystkie możliwe wyniki) nie jest systemem holenderskim wtedy i tylko wtedy, gdy układ stopni przekonania gr acza, mierzony ilorazem zawieranych pracz niego zakładów, spełnia aksjomaty rachunku prawdopodobieństwa⁴.

1

   Czytelnik może być przyzwyczajony do tego, że prawdopodobieństwo określa się nie na zdaniach, ale na zdarzeniach pojmowanych jako zbiory. W istocie nie ma wielkiej różnicy: wystarczy zbiór zastąpić zdaniem będącym jego opisem, a operacje mnogościowe u, n, ', zastąpić logicznymi v, /\, ->. W szczególności prawdopodobieństwo warunkowe hipotezy H ze względu na świadectwo £ definiuje się wzorem: P{f I\E) = yyffi.

2

   Przy założeniu, że przestrzeń prawdopodobieństwa jest skończona. W przeciwnym razie £(//) = 1 jest równoważne temu, że zbiór przypadków sprzyjających nic-H jest miary zero (lecz może być niepusty).

3

   Dokładniej: zbiór przypadków sprzyjających H jest miary zero (choć może być niepusty).

4

Zanim Kołmogorow sformułował klasyczny układ aksjomatów, Thomas Bayes, jeden z pionierów rachunku prawdopodobieństwa, używał argumentu z holenderskiego systemu zakładów dla uzasadnienia swoich twierdzeń.