22 23 (18)

zz    Przestrzenie liniowe

ich niewspół Liniowość. Załóżmy z drugiej strony, żc wektory x y są nie współ lin: owe, lzn. że xi V2 ^ Tiyi Niech rvj x -f- 0-2 y = 0 gdzie aj. 02 € ^ Równość tę możemy zapisać w postaci

■

Z] yi

Z-i S/2

Z założenia wynika, że jest to układ Cramera, więc o-i = o₂ = 0. To oznacza liniową niezależność wektorów x, y.

Zadania

O Zadanie 2.1

Wektory (3, —2,5), (0, 1,1) przedstawić na wszystkie możliwe sposoby jako kombinacje liniowe wektorów:

a) (3,-2,5), (1,1,1);    b) (3,-2,5), (1,1,1), (0,-5 2);

c) (1,-2,3), (1,0,1), (0, 2, —1); d) (l,-2,3), (1,0,1), (-1,-2, l).

O Zadanie 2.2

Zbadać z definicji liniową niezależność podanych układów wektorów w odpowiednich przestrzeniach liniowych:

a)    (1,4), (2,3), (1,1), (5,6) w przestrzeni R*

b)    (1 -2,3), (1,0.1), (0,2, —1), (1,-2,3), (1,0, i), (-1-2,1) w przestrzeni R³;

c)    3 — x, 4 -f x, 2jc -f 3; 2 - x³, 3x -r 2, r² 4- x - 1 w przestrzeni R[x)\

d)    1, cos z, cos 2x. cos² x; 1, z, cosx, c* w przestrzeni C(i£);

0 1 r-H		0 2 ’
' [ 2 ł J ’ l 10		1 N3

w przestrzeni Af_2x:

/, A, A² dla A =    ^ j J w przestrzeni

2 -1

3    0

0

O Zadanie 2.3

Uzasadnić liniową zależność podanych wektorów w odpowiednich przestrzeniach liniowych przedstawiając jeden z tych wektorów jako kombinację liniową pozostałych:

a)    (1,2,3), (2,3,4), (1,1,1) w przestrzeni R³\

b)    x⁴-x³ + x²-r + l, x³ + x² + x, x³-x² + x, x⁴ 4-x³ + x²-f x + 1 w przestrzeni

#₄[xJ;

c)    sin x, sit: | — -    , sin ^^ - r) w przestrzeni C(J2);

d)    aresin x, arccosr, i w przestrzeni C([-l,l]).

O Zadanie 2.4

Wektory u, v, w, x są liniowo niezależne w przestrzeni liniowej V Zbadać liniową

niezależność wektorów:

a)    u -1 v, v + w, 2 + w,

b)    u, u + v, u Ą v + 10, u + v + w + x;

c)    2 - v, v — w, w

d)    U — V, V - U' w - X, z — u,

e)    u - 3tJ + 5tv, 22 -f v + 32?,32 + 22 -f Aw,

f)    22 + 32 + w, 5 + 25 + z, 4u -f 7r -f 2 z.

O Zadanie 2.5

Niech V będzie przestrzenią liniową, a u, v, w, x wektorami z tej przestrzeni.

Uzasadnić że jeżeli wektory:

a)    u, v, w są liniowo zależne, to wektory 2, v, i3, z też są liniowo zależne;

b)    2, v są liniowo niezależne, a wektory 2, 2, ió liniowo zależne, to wektor w jest kombinacją liniową wektorów 2, 2;

c)    u, 2, są liniowo niezależne i wektor x nie jest kombinacją liniową tych wektorów, to wektory 2, 2, 2?, x są liniowo niezależne;

d)    2, w, 25 są liniowo niezależne, a wektory ii, 2, z są liniowo zależne, to wektor z jest kombinacją liniową wektorów 2, 2, w.

e*) Co można powiedzieć o liniowej niezależności wektorów 2 + 2, u + w, v — w_r jeżeli wektory 2, 2 25 są liniowo zależne ?

O Zadanie 2.6

Uzasadnić liniową niezależność podanych nieskończonych układów wektorów z odpowiednich przestrzeni liniowych:

d*) {1, cosr, cos2r,. .C(.R); e‘) {e‘* :/€«(, C{R).

O Zadanie 2.7

Uzasadnić, że dowolne trzy niewspólpłaszczyznowe wektory w przestrzeni R³ są liniowo niezależne.

Odpowiedzi i wskazówki

2.1 a) (3, -2.5) = 1 (3, -2,5) + 0 • (1,1,1), wektor (0,1,1) nic jest kombinacją liniową; b) (3, -2,5) = a(3 -2,5) + (3-3a)(l, 1,1) + (1 -a)(0, -5,2), gdzie a € R, wektor (0,1,1)

nie jest kombinacją liniową; c) (3, —2,5) = 1(1 — 2,3)+2-(l, 0,1), (0,1,1) = —(1, —2,3)— 3