30 31 (18)

30

Przestrzenie liniowe

więc ostatni z rozważanych zbiorów jest już szukaną bazą.

Uwaga. W przestrzeni J*„(x] układ n+ 1 wielomianów zawierający po jednym wielomianie stopnia k dla k — 0,1,2.....n stanowi jej ba2ę. Dlatego w przykładzie d) od ra2u

można było zauważyć, że w bazie brakuje wielomianów stopnia 0,2 oraz 4.

Zadania

O Zadanie 3.1

Opisać (geometrycznie lub słownie) zbiory lin y4 dla

a)    A= {(5, —1,4).(—10.2,-8)} C fi³;

b)    A = {i 4 3,z[x 4 3),r^!(i 4 3),x³(x 4 3)} C fi[x];

i	0 10“		1 CM l 0 0		■ 0 00	}
	-10 0	ł	0 0 0	)	0 0 3
	0 0 0		2 0 0		0-3 0	1

d*M = {(l,l,l,l,l...)_l(0₁2_l2,2₁2 0,(0,0,3,3,3,...),...} C R^x O Zadanie 3.2

Wyznaczyć generatory podanych przestrzeni liniowych:

a) V = {(i, y, 2) £ R³ . 4x - y + 2z = 0} ;

b) V = \(’2r + s — t,t ~ u,r + 3s -r ti, s -r u,t — u) : r,s,t,u £ 22( ;

^c)    ^v =    e R^Ą ■ z-y = y- z = z-t}-,

d) V={pe fi₃[x) p( 1) + p(2) = p(3) + p\0)) .

O Zadanie 3.3

Sprawdzić z definicji, czy podane zbiory wektorów są bazami wskazanych przestrzeni liniowych:

a) B= {(2.3),(3.1),(6.-7)}, fi²;

b)    B = {(2,3,-1),(1.-3,2)}, fi³;

c)    ^ = {(1.-1,4),(3,0,1),(2,1,-2)}, R³.

d)    B = {2r -f 4 . 3x - z², -2x² -4- 4x - 4} , £2(2]-

O Zadanie 3.4

Wektory u, v w tworzą bazę przestrzeni liniowej V. Zbadać z definicji, czy podane

zbiory wektorów też są bazami przestrzeni V

a) u — 2 c + to, 3 u 4- w, tl -f- 4» — w, b) u, 2u + v, 3u — v + 4 id.

O Zadanie 3.5

Dla jakich wartości parametru p 6 R podane zbiory wektorów stanowią bazy odpowiednich przestrzeni Rⁿ:

a)    B = {(p - 2, -p), (3,2 4 p)} , fi²;

b)    B= {(l,3,p),(p.0.-p).(l.2,l)}. fi³;

Trzeci tydzień - odpowiedzi i wskazówki

31

0)). Rⁿ

c) B = {<1, 1.1, l).(l,p,2,3), (l,p²,4,9) , (1 j>³, 8,27) } , R\ d*) 13 = {(0.1,1.....I).Cp.O. 1.....l),(p,p 0,    .,1).....(p,p,p,

O Zadanie 3.6

Wskazać bazy i określić wymiary podanych przestrzeni liniowych:

a)    V = {(x + y + z, z - y, z - z_t y - z) : z.y,z E ii};

b)    V — {(a + 26 + c, 3a — fc + 2c 5a + 3fc + 4c) a_fb,c 6 R)

c)    V= {(r.y.z.Oeii⁴ : 2x - y = z - £ = 0} :

d)    V=(_Pę R_ą[_x\ p(2x) = 4xp'(x) -f p(0)} ;

e)    V = {A = (a,y] € M_3x4 : a.y = 0 dla : ^ j};

f)    V = lin {1,e^r,e“^r, sh z, ch x) . przy czym Vc C(II).

O Zadanie 3.7

Znaleźć bazy podanych przestrzeni liniowych zawierające wskazane zbiory wektorów:

a)    {(-1,5,3)}, R³\

b)    {(1,0,1, -1),(2,3_: -1,2), (3,3,2,1)} R^ą

c)    {'2x - 3, x³ + 4z - 1} ,

d)    {x² + 5, x² - 3r, z⁴ - 2x³} , Rą[z]\

e*) { 1, 1 + x²,1 + x² + z⁴,1 + x² + z⁴ -ł- x⁶.. • } , R[z].

Odpowiedzi i wskazówki

3.1    a) prosta i = 5(, y = —t, z = At, gdzie i € R, b) (p € -^[z] - p(—3) = 0); c) zbiór macierzy antysymetrycznych stopnia 3; d*) zbiór wszystkich ciągów stałych od pewnego miejsca.

3.2    Przestrzenie są generowane np. przez wektory a) (1,4,0), (0,2,1); b) (2,0,1,0,0), (1,0 3,1,0), (-1.1,0,0.1), (0, —1,1,1, — 1); c) (1.0,-1-2), (0,1,2,3); d) z³-ł-18, x²+4, *+ 1.

3.3    a), b). d) nie: c) tak.

3.4    a) nie; b) tak.

3.5    a) p€ R\ {-1,1}; b) p €R\{ 0,2}; c) p 6 R \ {1,2,3], d*) p 6 i? \ {0,-1} lub p = -1 i n jest liczbą parzystą.

3.6 Jedną z baz jest np a) B = ((1,1,1,0), (1,—1,0,1),(1,0,-1, —1)}; dim V = 3; b)

B = {(1.3,5),(2,-1,3)}; dim V = 2. c) B = {

..0 0 0 0

{z⁴, l}; dim V = 2; e) B

10 0 0 0 0 0 0

dim V = 3; f) B= {1, e^x,e“^x|, dim V = 3.

1,2,0,0),(0,0,1,1

0    0    0    0

0    0    0    0

10 0 0

}, dim V = 2; d) B =

o o o o -n , o o o o >,

.o i o o J J

3.7 Można uzupełnić np o wektory a) (0 1,0), (0,0,1); b) (1,0,0,0); c) l,x³; d) l,x³;

* v    _7

c*) z, z , T , X .....