221 2

221

6.3. Metoda Newtona

_klóry można też napisać w postaci

(6.3.5)    ^.₊, =    - D +_x; ^= ~    - P) - «. *].

pierwsze z wyrażeń (6.3.5) jest wygodne dla p>0, a drugie - dla p<0. Z tego W7x>ru jt-tacyjncgo korzysta się często w obliczaniu maszynowym np. Jc, %Jc i 1 ,\U (p równe odpowiednio 2, 3 i -2). Jeśli dzielenie nie jest działaniem maszynowym, to w ten sposób oblicza się nawet 1 je (p=- 0-

Ćwiczenie. Dla p — 2 otrzymuje się metodę obliczania pierwiastków kwadratowych znaną już z przykładu 1.2.1. Pokazać, że w' tym przypadku

Za pomocą tego związku wykazać, że dla każdego dodatniego x₀ zachodzi nierówność i że lim x„=^c (zob. rys. 1.2.5).

I1-* 00

Zauważmy wreszcie, że związek (6.3.2) łączący błędy kolejnych przybliżeń zachodzi tylko wtedy, gdy pomija się błędy zaokrągleń występujące w obliczeniach. Możliwą do osiągnięcia dokładność obliczenia pierwiattka ogranicza dokładność, z jaką wyznacza się wartości/(*„)• Rozpatrzymy tę kwestię dokładniej w § 6.6. Podkreślmy jeszcze raz, żc z wyłażenia dla h_n wynika, iż f'(x_n) wystarczy obliczać tylko z taką dokładnością względną, z jaką oblicza się/(ar j. Ponieważ f(x„) maleje, gdy x_n zblża się do a, więc nie trzeba obliczać /'(*„) w każdej iteracji — szybkość zbieżności na tym zbytnio nie ucierpi. Może to być nawet z rzadka pożyteczne - wtedy, gdy trudno obliczać /’(*), a zwłaszcza w uogólnieniach metody Newtona na układy równań nieliniowych.

Metodę Newtona można też stosować do pierwiastków zespolonych.

Pytania przeglądowe

1.    Co mamy na myśli mówiąc, że metoda iteracyjna jest zbieżna kwadratowo?

2.    Jakie założeń .a zapewniają zbieżność kwadratową metody New^rtona?

Zadania

1. Zbadać zbieżność metody Newtona na przykładzie równania a*²—1=0. Wybrać ■*c=2 jako wartość początkową i obliczyć przybliżenia pierwiastka maiace coraz wyższa

dokładność.

(a) Pierwiastek rzeczywisty a równania x³=;r+4 można napisać w' postaci a = v2+}v321 + V2 - \ V 32?.

Biffimać- to wyrażenie do obliczenia a z czterema poprawny mi cyframi ułamkowymi. X (b) Obliczyć a z tą samą dokładnością metodą Newtona, przyjmując x_<t=2.