226 (10)

f

(5.1.33)

Geometryczną interpretacją omawianego tutaj parametru dokładnościo-wego jest okrąg o promieniu m,_)a. Przykłady takich okręgów przedstawiono na rys. 5.1.3.

Rys. 5.1.3. Geometryczna interpretacja błędu położenia punktu

Jak już wspomnieliśmy, błąd położenia punktu jest parametrem umownym, nie mającym głębszego uzasadnienia probabilistycznego. Chociaż jest on bardzo przydatny w wielu analizach, szczególnie o charakterze porównawczym (np. przedstawione na rys. 5.1.3 promienie m wskazują, że punkt jest wyznaczony z większą dokładnością niż punkt Z₇), to jednak należy pamiętać, że jest to jedynie „wypadkowa” ustalonych w ścisły sposób błędów średnich wyrównanych współrzędnych. Z jednej strony trudno powiedzieć, z jakim prawdopodobieństwem rzeczywisty punkt leży we wnętrzu okręgu o promieniu m , z drugiej zaś ustalenie obszaru, w którym z przyjętym prawdopodobieństwem znajduje się nowy punkt struktury geometrycznej, jest nie tylko interesującym zagadnieniem poznawczym, lecz ma także duże znaczenie praktyczne. Szczególnie w zadaniach o wysokich wymaganiach, nie tylko co do dokładności, lecz także jakości ostatecznych wyznaczeń (niekiedy dobrze jest wiedzieć, w jakim obszarze z ustalonym prawdopodobieństwem znajduje się wyznaczony punkt). Obszarem takim (obszarem ufności, zobacz rozdz. 3.3) jest elipsa ufności pojedynczego punktu, stanowiąca szczególny przypadek hiperelipsoidy ufności dotyczącej całej wyrównanej struktury pomiarowej.

Teoria hiperelipsoidy ufności

Teoria hiperelipsoidy ufności oraz jej szczególny przypadek ~ teoria elips ufności pojedynczych punktów mają dobre podstawy probabilistyczne. Podstawy te wynikają z rozkładów prawdopodobieństw form kwadratowych (zob. rozdz. 2.4) oraz z zasad estymacji przedziałowej (np, Wiśniewski 2000).

W interesującym nas w tym rozdziale kontekście należy rozpatrywać dwie formy kwadratowe: jedną dotyczącą estymatora X, drugą - estymatora wektora poprawek V.

1) Wcześniej wykazaliśmy, że d_v = -(A^rPA)"' A^rPL jest nieobciążonym estymatorem wektora przyrostów d _v. tzn. E(d_x) - d _v . Ponieważ X = X^(> + d _x , więc także £(X) = X° + £(d _x ) = Xⁿ + d _v = X, co oznacza, że X jest nieobciążonym estymatorem wektora parametrów X. Ustaliliśmy również, że ma-cierz kowariancji wyrównanych parametrów ma postać CU = <Tq (A PA)

Załóżmy teraz, co do tej pory nie było konieczne, że błędy pomiaru e mają rozkład normalny o przyjętych już wcześniej parametrach opisowych, czyli z - N,,{£(£) = 0; C_r - C _oh =cr₍)P~¹]. Ponadto, estymator wektora przyrostów jest liniową funkcją wektora błędów pomiaru e - -V, tj.

d _v = -(A⁷ PA)^-1 A^fPL = (A⁷>A)~^! A^rP(s + Ad* ) =

= (A⁷ PA)“¹A^rPAd,_Y + (A⁷ PA)"¹ A⁷ Pe ~    (5.1.34)

= d y +(A^rPAr^,A^rP6

gdy L = V - Ad _v = -(£ + Ad _x ). Z własności rozkładu normalnego wynika (zob. rozdz. 2.3), że w takim przypadku d _v ma także rozkład normalny o parametrach £(d _v ) = d _Y oraz C- =    (A^rPA)^-1. Jeśli zatem

£-N,,[£(*:); C_r J, to także ~N_r[{l^:C|j ]. Na tej samej podstawie rozkład normalny ma również estymator X = X°-f-d_v o wartości oczekiwanej £(X)-X i macierzy kowariancji C^, czyli k~N„[0;C_s„„} =*

(d._v~N_rjdY«;C_aAJ =* X~N_r(X;C*})

Weźmy teraz pod uwagę różnicę t\ - X - X stanowiącą losowy błąd estymatora X, tzn. X = X + ii (zob. rozdz. 3.2.1). Ponieważ £(X) - X, więc £(ą) = £(X)-X-0. Ponadto €^=0^. Wobec tego, skoro X ~ N_rfX; C^], to różnica i] - X - X ma rozkład

h~NJ£(n) = 0;C-.]

Z teorii rozkładów form kwadratowych (rozdz. 2.4) wynika, że skoro ą - N_r[£(i}) = 0;    ), to forma kwadratowa Bi\ ma rozkład xo para

metrach /i = Tr(BC^), A₍ = [£(t))]⁷ B£(i|), przy czym B musi spełniać warunek BC^.B-B. Macierzą spełniającą taki warunek jest B - A⁷ CT¹^ A. Rzeczywiście

BCUB = A^rC !j,A(A^rC“A)'¹A ^r CA = A^TC"'*A = B

227